Seja a função, g : R 3 → R e o conjunto

P , W ∈ R 3 × R : W = 4 - x 2 - y 2 - z 2 .

Resolva as questões,

e )   I m ( g )

Passo 1

Faala gente bonita, tudo bom com vocês?

Nessa questão temos uma função g , que foi dada de uma forma meio diferente no enunciado. Então, vamos começar tentando entender melhor quem é essa função.

Foi dito que:

g : R 3 → R

Isso significa que o domínio de g é um ponto do R 3 , por exemplo ( 1,1 , 1 ) e que o contradomínio de g está nos reais. Ou seja, g recebe um ponto do R 3 e devolve um número real.

Também foi falado que:

P , W ∈ R 3 × R : W = 4 - x 2 - y 2 - z 2

Basicamente, o ponto P é um ponto do R 3 . Se aplicarmos esse ponto P = ( x , y , z ) em W , vamos ter:

W = 4 - x 2 - y 2 - z 2

Nesse contexto, precisamos calcular o conjunto que representa a imagem de g , ou seja, encontrar o conjunto dos valores reais que a função g irá retornar.

Passo 2

Bom, vimos que os valores retornados pela função g são dados pela expressão:

4 - x 2 - y 2 - z 2

Ou seja, ela nos retorna um número real. Qual será o intervalo de valores que essa função consegue abranger?

Bom, como se trata de uma raiz quadrada, temos que ela é sempre maior ou igual a zero. Ou seja:

4 - x 2 - y 2 - z 2 ≥ 0

Porém, o maior valor que a função assume é quando a expressão:

4 - x 2 - y 2 - z 2

for máxima. Isso vai acontecer quando:

x = y = z = 0

Dessa forma, teremos:

g 0,0 , 0 = 4 - 0 2 - 0 2 - 0 2

= 4 = 2

Ou seja, a nossa função g retorna valores no intervalo:

0 ≤ g ≤ 2

Portanto, podemos escrever:

I m g ∈ [ 0,2 ]

Prontinho!!

E aí, curtiram a soluç��o? Até a próxima!

Resposta

[ 0,2 ]

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