Sejam os vetores em R 4 : A = ( 1 ,   - 1 ,   3 ,   - 4 ) e B = ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 ) e consideremos

X = A + t B ,     t ∈ R .

a) Qual a distância da origem a esta reta.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a distância da origem à reta X = A + t B , com A = ( 1 ,   - 1 ,   3 ,   - 4 ) e B = ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 ) .

Pra isso, vamos considerar um ponto P = ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) na origem e calcular a distância entre ele e a reta. A gente só precisa lembrar que pra isso, o ângulo que liga a reta r e o ponto P precisa ter um ângulo de 90 ° para que essa distância seja mínima.

Então, pra calcular a distância entre o ponto e a reta precisamos achar um ponto Q na reta r de modo que o vetor P Q → faça um ângulo de 90 ° com o vetor diretor r → .

Para achar o ponto Q , vamos primeiro definir a reta r = X , a partir de A e B , achar o vetor genérico Q pertencente a reta que queremos calcular a distância. Em seguida, vamos calcular o vetor P Q → , e como esse vetor deve ser ortogonal a r → , vamos fazer P Q → ∙ r → = 0 para encontrar o valor de t . Encontrando t , nós encontramos Q e conseguimos calcular a distância entre P e Q através da fórmula da distância entre dois pontos:

d P , Q = a - a 0 2 + b - b 0 2 + c - c 0 2 + d - d 0 2

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar definindo a reta X = A + t B , substituindo A = ( 1 ,   - 1 ,   3 ,   - 4 ) e B = ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 ) :

X = 1 ,   - 1 ,   3 ,   - 4 + t ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 )

Multiplicando o escalar t pelo vetor:

X = 1 ,   - 1 ,   3 ,   - 4 + ( t ,   2 t ,   - t ,   4 t )

Somando cada componente:

X = ( 1 + t ,   - 1 + 2 t ,   3 - t ,   - 4 + 4 t )

Repare que nosso vetor diretor é quem multiplica t , portanto, r → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 ) . Vamos guardar essa informação.

Passo 3

Agora precisamos definir um ponto genérico Q que pertença a reta r , através da equação vetorial que encontramos:

Q = ( 1 + t ,   - 1 + 2 t ,   3 - t ,   - 4 + 4 t )

Como P = ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) é um ponto na origem que definimos no passo 1 , vamos calcular o vetor P Q → fazendo:

P Q → = Q - P

P Q → = 1 + t ,   - 1 + 2 t ,   3 - t ,   - 4 + 4 t - ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 )

P Q → = 1 + t ,   - 1 + 2 t ,   3 - t ,   - 4 + 4 t

Passo 4

Agora vamos fazer o produto interno entre P Q → e o vetor diretor r → = ( 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 ) , igualando a zero:

P Q → ∙ r → = 0

1 + t ,   - 1 + 2 t ,   3 - t ,   - 4 + 4 t ∙ 1 ,   2 ,   - 1 ,   4 = 0

Somando os produtos de cada componente:

1 + t - 2 + 4 t - 3 + t - 16 + 16 t = 0

22 t - 20 = 0

Isolando t :

t = 20 22 = 10 11

Substituindo t = 10 11 em Q = ( 1 + t ,   - 1 + 2 t ,   3 - t ,   - 4 + 4 t ) , temos:

Q = 1 + 10 11 ,   - 1 + 2 10 11 ,   3 - 10 11 ,   - 4 + 4 10 11

Q = 21 11 , 9 11 , 23 11 ,   - 4 11

Passo 5

Agora, tendo P = ( 0 ,   0 ,   0 ,   0 ) e Q = 21 11 , 9 11 , 23 11 ,   - 4 11 , podemos substituir na fórmula da distância entre dois pontos para encontrar a distância entre x e a origem:

d P , Q = a - a 0 2 + b - b 0 2 + c - c 0 2 + d - d 0 2

d P , Q = 0 - 21 11 2 + 0 - 9 11 2 + 0 - 23 11 2 + 0 + 4 11 2

Elevando ao quadrado:

d P ,   Q = 441 + 81 + 529 + 16 121

d P ,   Q = 1067 11

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1067 11

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1