9. Usando o conhecimento do gráfico da função potência y = f x = x k , para um inteiro k ∈ Z , produtos notáveis e as noções de deslocamento horizontal e vertical, trace um esboço do gráfico das seguintes funções:

(i) f x = x + 5 x 3 + x 2 - 16 x + 20 ,   x ∈ D o m f .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão, queremos obter o gráfico de f x .

Mas nossa função é dada por f x = x + 5 x 3 + x 2 - 16 x + 20

Então p que temos que fazer é tentar simplificar essa função aí para conseguirmos obter o gráfico de f de uma maneira mais simples.

A função f é uma fração polinomial, portanto, podemos fatorar um dos polinômios para simplificar essa fração.

Bora começar! 😁

Passo 2

Se fatorarmos o polinômio de grau 3 , temos

x 3 + x 2 - 16 x + 20 = x - 2 2 x + 5

Substituindo em f x ...

f x = x + 5 x 3 + x 2 - 16 x + 20 = x + 5 x - 2 2 x + 5

Perceba que x + 5 aparece multiplicando o numerador e o denominador, logo, podemos simplifica-lo.

f x = 1 x - 2 2

Assim, vemos que nossa função f x pode ser reescrita simplesmente como 1 x - 2 2 .

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Agora podemos obter o gráfico de f x analisando alguns aspectos.

Em x = 2 , f x não está definido e conforme x se aproxima de 2 , f x tende a já que x - 2 2 tende a um número muito pequeno.

Outro aspecto também é que f x nunca assume valores negativos. Como x - 2 está elevado ao quadrado, o resultado sempre será um valor positivo.

E também, se x for muito grande em módulo, f x tende a 0 , já que o denominador será muito grande.

Resumindo essas características em um gráfico, temos algo mais ou menos assim

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f x = 1 x - 2 2

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Verificar quais das seguintes curvas são suaves:a) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ - 1,1
Verificar que as equações vetoriais r → w = w ,w 2 ,2 ≤ w ≤ 3 e r → t = t ,t , 4 ≤ t ≤ 9 representam a mesma curva.
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:e) r → t = 2 cos ⁡ t ,3 s e n t , t ∈ 0 ,2 π
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:d) r → t = 3 cos 3 ⁡ t ,3 s e n 3 t , t ∈ π 6 , π 3
Verificar quais das seguintes curvas são suaves:b) r → t = t 3 i → + t 2 j → , t ∈ 1 2 , 1