2.4. Qual o valor da área limitada entre os gráficos de y = x 2 e y = 2 x - x 2 ?

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema temos que obter a área limitada entre as curvas y = x 2 e y = 2 x - x 2

E aí? Como fazemos isso? 🤔

Para obter essa área, podemos calcular a integral dessa região através de uma integral dupla.

Primeiramente, podemos esboçar a região que vamos obter e aplicar as variáveis nos limites de integração.

Para calcular a área, a função de integração deve ser 1 .

∬ S 1 d S

Bora ver como é na prática? 😉

Passo 2

Primeiro vamos esboçar a região que temos que integrar com a função y = x 2 e y = 2 x - x 2

Assim, podemos ver que a região está limitada superiormente pela curva y = 2 x - x 2 e inferiormente pela curva y = x 2 .

Já em x a região tem que variar entre duas constantes já que já consideramos as funções em x .

Portanto vemos que x varia entre 0 e 1 , que os pontos onde as curvas se cruzam.

Montando nossa integral, temos

∫ x i x f ∫ y i y f 1 d y d x → ∫ 0 1 ∫ x 2 2 x - x 2 1 d y d x

Integrando em y , temos

∫ 1 d y = y

∫ 2 x - x 2 x 2 1 d y = 2 x - x 2 - x 2 = 2 x - 2 x 2

Integrando o resultado em função de x

∫ 2 x - 2 x 2 d x = 2 x 1 + 1 1 + 1 - 2 x 2 + 1 2 + 1 = x 2 - 2 x 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 2 x - 2 x 2 d x = 1 2 - 2 1 3 3 - 0

∫ 0 1 2 x - 2 x 2 d x = 1 3

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

A = 1 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval