Passo 1

Vamos dar uma olhada em como fica o gráfico dessa função. Lembrando que y = x assume a forma y = - x ao lado esquerdo do eixo y e y = x no lado direito.

Passo 2

Primeiro vamos determinar o ponto de encontro das curvas.

x 2 = x

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0  

x = 0 ;     x = 1

Vamos precisar calcular a área entre x = 0   e   x = 1 , y = x é maior que y = x 2 . Então

∫ 0 1 x - x 2 d x

E depois entre x = 1 e x = 3 que é o limite do nosso exercício.

∫ 1 3 x 2 - x d x

Pelo gráfico, podemos ver que essa é uma função simétrica, então para determinar a área entre as curvas basta que façamos o dobro da área de um dos lados.

Então a área total é:

A = 2 ∫ 0 1 x - x 2 d x + 2 ∫ 1 3 x 2 - x d x

Passo 3

Integrando, vamos ficar com

A = 2 x 2 2 - x 3 3 0 1 + 2 x 3 3 - x 2 2 1 3

A = 2 1 2 - 1 3 - 0 + 0 + 2 27 3 - 9 2 - 1 3 + 1 2

A = 29 3

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que