Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Passo 1

Vamos dar uma olhada em como fica o gráfico dessa função. Lembrando que y = x assume a forma y = - x ao lado esquerdo do eixo y e y = x no lado direito.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro vamos determinar o ponto de encontro das curvas.

x 2 = x

x 2 - x = 0

x x - 1 = 0  

x = 0 ;     x = 1

Vamos precisar calcular a área entre x = 0   e   x = 1 , y = x é maior que y = x 2 . Então

∫ 0 1 x - x 2 d x

E depois entre x = 1 e x = 3 que é o limite do nosso exercício.

∫ 1 3 x 2 - x d x

Pelo gráfico, podemos ver que essa é uma função simétrica, então para determinar a área entre as curvas basta que façamos o dobro da área de um dos lados.

Então a área total é:

A = 2 ∫ 0 1 x - x 2 d x + 2 ∫ 1 3 x 2 - x d x

Passo 3

Integrando, vamos ficar com

A = 2 x 2 2 - x 3 3 0 1 + 2 x 3 3 - x 2 2 1 3

A = 2 1 2 - 1 3 - 0 + 0 + 2 27 3 - 9 2 - 1 3 + 1 2

A = 29 3

Resposta

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