Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Passo 1

a Para achar essa reta t , vamos modelar a reta por y = a x + b e aplicar que a derivada da função vale o coeficiente da função no ponto tratado, x 0 , y 0 , com

y 0 = sen ⁡ x 0 = sen ⁡ 2 π 3 = 3 2

Assim, o coeficiente angular será

f ' x = sen ⁡ x ' = cos ⁡ x     →       a = cos ⁡ 2 π 3 = - 1 2

Com todas essas informações, aplicamos o ponto da reta para descobrir o valor de b :

y = a x + b → 3 2 = - 1 2 2 π 3 + b

b = 3 2 + π 3

A reta será, portanto, y = - x 2 + 3 2 + π 3 .

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Passo 2

b A gente tem aqui uma região delimitada lateralmente à esquerda pelo eixo y e à direita pela interseção dos gráficos. Nessa região, a reta fica por cima do seno (pode chutar algum valor de x entre 0 e 2 π 3 e você vai comprovar isso). O esboço fica mais ou menos assim então, dado o gráfico de sen ⁡ x e da reta:

Assim, a área será dada por:

A = ∫ 0 2 π 3 - x 2 + 3 2 + π 3 - sen ⁡ x d x

Passo 3

Resolvendo, fica:

A = ∫ 0 2 π 3 - x 2 + 3 2 + π 3 - sen ⁡ x d x = - x 2 4 + 3 2 + π 3 x + cos ⁡ x [ 2 π 3 0

= - 2 π 3 2 4 + 3 2 + π 3 2 π 3 + cos ⁡ 2 π 3 - - 0 2 4 + 3 2 + π 3 0 + cos ⁡ 0

= - π 2 9 + 3 3 π + 2 π 2 9 - 1 2 - 0 + 0 + 1

= π 2 9 + 3 3 π - 3 2     u . a .

Resposta

a   y = - x 2 + 3 2 + π 3

b   A = π 2 9 + 3 3 π - 3 2     u . a .

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