Achar a área da região delimitada pelas curvas y = x + 2 ,   y = 1 x + 1 , x = 2   e   x = 0

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essas curvas aqui

y = x + 2 ,   y = 1 x + 1 , x = 2   e   x = 0

E pediu para calcularmos a área da região delimitada por elas! Então nosso primeiro passo é fazer o esboço dessas curvas para ver onde elas se encontram!

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar fazendo o esboço das curvas y = x + 2 ,   y = 1 x + 1   e x = 0 ,   x = 2 . A primeira é a parte positiva da raiz deslocada para esquerda duas unidades, a segunda é uma hipérbole deslocada para esquerda em uma unidade e as duas últimas são retas verticais:

Tudo bem até aqui?

Note que a região que é delimitada por todas essas curvas tem a curva verde por cima (raiz) e a azul por baixo (hipérbole). E os limites? Vão de x = 0 até x = 2

tudo bem?

Agora é #partiu integrar

Passo 3

Integrando em x temos

∫ 0 2 x + 2 - 1 x + 1 d x = 2 3 x + 2 3 / 2 - ln ⁡ x + 1 0 2  

Tranquilo? Agora é só aplicar os limites de integração

2 3 4 3 2 - ln ⁡ 3 - 2 3 2 3 2 - ln ⁡ 1 = 16 3 - ln ⁡ 3 - 4 2 3

= 16 - 4 2 3 - ln ⁡ 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

16 - 4 2 3 - ln ⁡ 3

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