Achar a área da região delimitada pelas curvas y   =   x 3   -   x , y   =   x com x   ≥   0 .

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essas curvas aqui

y   =   x 3   -   x , y   =   x com x   ≥   0

E pediu para calcularmos a área da região delimitada por elas! Então nosso primeiro passo é fazer o esboço dessas curvas para ver onde elas se encontram!

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar fazendo o esboço das curvas y = x e y = x 3 - x . A primeira é uma reta que passa pela origem e é a abscissa dos quadrantes ímpares. A segunda é um polinômio de terceira ordem que cruza na origem e em x = ± 1 :

Tudo bem até aqui?

Mas queremos a região com x > 0 , então a função mais acima é a reta (em azul) e a que está embaixo o polinômio (em verde). E os limites? O limite inferior vemos que é em x = 0 , o superior é onde as curvas se encontram:

x 3 - x = x

x 3 - 2 x = 0 → x x 2 - 2 = 0

x = 0 ,   ± 2

Assim nosso limite de integração fica 0 , 2

tudo bem?

Agora é #partiu integrar

Passo 3

Integrando em y temos

∫ 0 2 x - x 3 - x d x = ∫ 0 2 2 x - x 3 d x = x 2 - x 4 4 0 2  

Tranquilo? Agora é só aplicar os limites de integração

2 2 - 2 4 4 = 2 - 4 4 = 1

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

1

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval