Achar a área da região delimitada pelas curvas x = y 2 - 2 , x = e y ,   y = 1 ,   y = - 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essas curvas aqui

x = y 2 - 2 , x = e y ,   y = 1 ,   y = - 1

E pediu para calcularmos a área da região delimitada por elas! Então nosso primeiro passo é fazer o esboço dessas curvas para ver onde elas se encontram!

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar fazendo o esboço das curvas x = y 2 - 2 ,   x = e y   e y = ± 1 . A primeira é uma raiz y = ± x + 2 a segunda é o logaritmo natural de x y = ln ⁡ x e as duas últimas são retas horizontais y = ± 1

Tudo bem até aqui?

Note que entender essa região como a função em cima menos a de baixo fica pouco complicada. Mas se integrarmos olhando quem está mais à direita menos quem está mais à esquerda fica bem mais fácil! Note que a função em vermelho está sempre mais à direita enquanto a laranja mais à esquerda. E os limites? Vão de y = - 1 até y = 1 !

tudo bem?

Sendo assim vamos inverter as equações deixando x = f ( y ) !

Agora é #partiu integrar

Passo 3

Integrando em y temos

∫ - 1 1 e y - y 2 - 2 d x = e y - y 3 3 + 2 y - 1 1  

Tranquilo? Agora é só aplicar os limites de integração

e - 1 3 + 2 - 1 e + 1 3 - 2 = e - 1 e - 2 3 + 4 = e - 1 e + 10 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

e - 1 e + 10 3

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