Achar a área da região delimitada pelas curvas y = cos ⁡ x , y = 1 - cos ⁡ x , com 0 ≤ x ≤ π .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinar a área da região delimitada pelas curvas y = cos ⁡ x e y = 1 - cos ⁡ x .

Mas como podemos fazer isso?

Então... primeiramente temos que descobrir os limites de integração e depois é fazer a diferença entre as duas curvas.

E aí?? Bora lá??

Passo 2

Bom... Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites da integral.

Dessa forma, igualando as duas equações, temos:

cos ⁡ x = 1 - cos ⁡ x ∴

2 cos ⁡ x = 1 ∴

cos ⁡ x = 1 2

Ou seja, x = π 3 e x = 5 π 3 . Ambas estão no intervalo 0 ≤ x ≤ π .

Passo 3

Como a área A é dada pela integral da diferença entre as duas curvas, temos:

A = ∫ 0 π 1 - cos ⁡ x - cos ⁡ x   d x ∴

A = ∫ 0 π 1 - 2 cos ⁡ x   d x ∴

A = x - 2 sin ⁡ x π 0 ∴

A = π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = π

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