Achar a área da região delimitada pelas curvas y = x   e   y = x 2 - 2

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essas curvas aqui

y = x   e   y = x 2 - 2

E pediu para calcularmos a área da região delimitada por elas! Então nosso primeiro passo é fazer o esboço dessas curvas para ver onde elas se encontram!

Bora começar?

Passo 2

Agora vamos começar fazendo o esboço das curvas y = x   e   y = x 2 - 2 . A primeira é o módulo de x que é uma função definida por partes

y = - x ,     x < 0 x ,     x ≥ 0

a segunda uma parábola deslocada em duas unidades para baixo

Precisamos dividir essa região em duas: de - 2 até 0 com a função - x em cima e a parábola embaixo. E depois de 0 até 2 com a função x e a parábola também embaixo. Beleza?

Tudo bem até aqui?

Agora é #partiu integrar

Passo 3

Integrando em x temos

∫ - 2 0 - x - x 2 - 2 d x + ∫ 0 2 x - x 2 - 2 d x = - x 2 2 - x 3 3 + 2 x - 2 0 + x 2 2 - x 3 3 + 2 x 0 2  

Tranquilo? Agora é só aplicar os limites de integração

- - - 2 2 2 - - 2 3 3 + 2 - 2 + 2 2 2 - 2 3 3 + 2 2

= 4 2 - 8 3 + 4 + 4 2 - 8 3 + 4 = 2 + 2 + 8 - 16 3

= 12 - 16 3 = 36 - 16 3 = 20 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

20 3

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval