Achar a área da região delimitada pelos gráficos de x = y + 1 e x = y 2 - 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa área aqui

Quando integramos procuramos a função que está mais em cima e a que está mais embaixo. No nosso caso antes da origem temos a parte positiva da raiz y = x - 1 por cima e a negativa embaixo. Já à direita da origem temos que a função em azul está sempre acima e a em vermelho embaixo.

Mas qual será nosso limite de integração? Na primeira parte vai de [ - 1,0 ] e depois [ 0,3 ] . São os pontos de encontro das funções!

Então aqui atenção: vamos começar dividindo nossa região em duas, e depois é partiu integrar!

Bora começar?

Passo 2

Nossa região precisa ser dividida em duas

∫ - 1 0 x + 1 - - x + 1 d x   + ∫ 0 3 x + 1 - x - 1 d x

= 2 ∫ - 1 0 x + 1 d x   + ∫ 0 3 x + 1 - x + 1 d x

Tudo bem até aqui? Agora é partiu integração!

Passo 3

Integrando temos

2 ∫ - 1 0 x + 1 d x   + ∫ 0 3 x + 1 - x + 1 d x = 2 . 2 3 x + 1 3 / 2 - 1 0 + 2 3 x + 1 3 2 - x 2 2 + x 0 3

Agora é só aplicar os limites de integração

= 4 3 - 1 + 2 3 4 3 2 - 3 2 2 + 3 - 2 3

= 11 6

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

11 6

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