Ache o núumero b tal que a reta y = b divida a região delimitada pelas curvas y = x 2 e y = 4 em duas regiões de áreas iguais.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??? Bora Responder Aí essa questão.

Nesse exercício temos uma região no plano cartesiano que é delimitada por uma parábola ( y = x 2 ) e por uma reta ( y = 4 ) . Daí, queremos dividir essa região em duas partes iguais. Para isso, vamos traçar uma reta horizontal em y = b .

Fazendo um gráfico das funções, temos:

O nosso objetivo é calcular b de modo que a área marrom ( A 1 ) e a amarela ( A 2 ) sejam iguais. Pegou a ideia? Beleza...

Mas, como podemos fazer isso?

Ou seja y varia de -2 a 2:

x 2 = 4 → y = ± 2

Bora pro próximo passo?

Passo 2

Obrigado por vir

Para pegarmos a parte da integração, devemos trocar a variável de integração, ou seja:

y = x 2 → x = ± y

Assim podemos tomar a integral.

Concorda comigo que se fizemos a integral até b, e b até 4 e igualarmos, estamos fazendo com que ambas as integrais sejam iguais, certo? Ou seja, a área entre ambas é igual, concorda?! Fica mais fácil vendo. Então veja comigo.

Passo 3

Chamemos a integral marrom de A 1 e a amarela A 2 .

Assim:

A 1 = A 2

∫ 0 b y   d y =   ∫ b 4 y   d y

y 2 3 2 3 0 b = y 2 3 2 3 b 4

Substituindo os limites de integração, temos:

b 3   3 2 = 4 3   3 2 - b 3   3 2

b 3   = 4 3   - b 3  

Isolando b , vem:

2 b 3 = 4 3

b = 2 2 3

Resposta

b = 2 2 3

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