4 . A área da região sob o gráfico de função

f : 0,1 → R ,     f x = 14 x x 1 / 3 - x 1 / 2

acima do eixo x , entre as retas x = 0 e x = 1 , é:

A : 8 5 .

B : 1 3 .

C : 1 4 .

D : 1 5 .

E : 2 5 .

Passo 1

Vem comigo que essa questão é garantida!

Para calcular essa área sob o gráfico, vamos usar integral ao nosso favor, por que disso? Bem, a área de uma região limitada por funções é defina da seguinte forma:

A área entre curvas y = f ( x ) e y = g ( x ) e entre x = a e x = b é

A = ∫ a b f x - g x   d x

No nosso caso temos que:

a = 0

b = 1

f x = 14 x x 1 / 3 - x 1 / 2

g x = 0

Então temos o seguinte:

A = ∫ 0 1 14 x x 1 / 3 - x 1 / 2   d x

Vamos resolver essa integral definida!

Passo 2

Vamos arrumar melhor a nossa integral, temos:

∫ 0 1 14 x x 1 / 3 - x 1 / 2   d x = 14 ∫ 0 1 x 4 / 3 - x 3 / 2   d x

= 14 ∫ 0 1 x 4 / 3   d x - ∫ 0 1 x 3 / 2   d x

Passo 3

Fazendo essas duas integrais, temos:

14 x 4 / 3 + 1 4 3 + 1 0 1 - x 3 / 2 + 1 3 2 + 1 0 1

= 14 x 7 / 3 7 3 0 1 - x 5 / 2 5 2 0 1

= 14 3 7 x 7 / 3 0 1 - 2 5 x 5 / 2 0 1

Ficamos com o seguinte então:

14 3 7 1 - 0 - 2 5 ( 1 - 0 )

= 14 3 7 - 2 5

= 14 1 35

Então temos que:

∫ 0 1 14 x x 1 / 3 - x 1 / 2   d x = 14 35 = 2 5

Logo a alternativa correta é a letra E .

Finalizamos com sucesso!

Resposta

E : 2 5

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