Em cada item, determine a área da região delimitada pelos gráficos das curvas.

e) y = x e - 2 x 5 , y = 0 e x = 5 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = x e - 2 x 5 , y = 0 e x = 5 , que é essa região aqui em amarelo:

Repare que ela é limitada verticalmente por y = x e - 2 x 5 (curva em vermelho) e y = 0 (reta em verde) e horizontalmente por x = 0 e x = 5 . Dessa forma, nossa integral de área tem a forma:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Onde, nesse caso, g x = x e - 2 x 5 , f x = 0 e a ,   b = 0 ,   5 .

Vamos lá!

Passo 2

Montando nossa integral de área, temos:

A = ∫ 0 5 x e - 2 x 5 - 0   d x = ∫ 0 5 x e - 2 x 5   d x

Como temos um produto complicadinho de resolver na integral, vamos precisar usar a integração por partes pra facilitar nossa vida. Lembra dela? Tem esse formato aqui:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Vamos escolher uma função fácil de derivar para ser o u e uma função fácil de integrar para ser o d v . Nesse caso, podemos fazer:

u = x → d u = d x

d v = e - 2 x 5 → v = - 5 2 e - 2 x 5

Substituindo na fórmula da integral por partes, junto com nossos intervalos de integração, vai ficar:

x - 5 2 e - 2 x 5 - ∫ 0 5 - 5 2 e - 2 x 5   d x

Arrumando um pouquinho:

- 5 x 2 e - 2 x 5 + 5 2 ∫ 0 5 e - 2 x 5   d x

Assim, integrando, vamos ter:

- 5 x 2 e - 2 x 5 + 5 2 - 5 2 e - 2 x 5 0 5

- 5 x 2 e - 2 x 5 - 25 4 e - 2 x 5 0 5

Aplicando os limites de integração:

- 5 5 2 e - 2 5 5 - 25 4 e - 2 ( 5 ) 5 + 5 ( 0 ) 2 e - 2 ( 0 ) 5 + 25 4 e - 2 ( 0 ) 5

Simplificando, temos a nossa área:

A = - 25 2 e - 2 - 25 4 e - 2 + 25 4

A = - 75 4 e - 2 + 25 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = - 75 4 e - 2 + 25 4

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