Em cada item, determine a área da região sombreada.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de y = x 2 e y = 4 x - x 2 , que é a nossa área em azul. O primeiro limite horizontal é definido nos pontos de interseção entre as curvas.

Verificando os limites horizontais, vamos ter os limites de integração [ a ,   b ] da integral de área da região, que vai ser dada pela diferença entre a função g ( x ) que está em cima e a função f ( x ) que está embaixo, ou seja:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Onde, nesse caso, g x = 4 x - x 2 e f x = x 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo o ponto onde as curvas se interseptam, fazendo:

4 x - x 2 = x 2

4 x = 2 x 2

x = 2

Então, os gráficos se tocam em x = 2 . Olhando o gráfico do enunciado, a gente também percebe que eles se cruzam na origem, ou seja, em x = 0 . Assim, nossos limites horizontais estão no intervalo [ 0 ,   2 ] .

Passo 3

Montando nossa integral de área:

A = ∫ a b g x - f x   d x

Com g x = 4 x - x 2 e f x = x 2 , temos:

A = ∫ 0 2 4 x - x 2 - x 2   d x

A = ∫ 0 2 4 x - 2 x 2   d x

Usando a regrinha da potência para integrar ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), vamos obter:

A = 4 x 1 + 1 1 + 1 - 2 x 2 + 1 2 + 1 0 2

A = 4 x 2 2 - 2 x 3 3 0 2

Aplicando os limites de integração:

A = 2 2 2 - 2 3 2 3 - 2 0 + 2 3 ( 0 )

A = 8 - 16 3

A = 8 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 8 3

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