Em cada item, determine a área da região sombreada.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a área entre as curvas de x = y 2 - 4 y e x = 2 y - y 2 , que é a nossa área em azul. Repare que as funções são colocada em relação a y , então vamos ter uma integral de área em relação a y .

Os limites horizontais são definidos pelas duas curvas e os limites verticais vão ser definidos pelas constantes, nos pontos de interseção entre as curvas.

Verificando os limites verticais, vamos ter os limites de integração [ c ,   d ] da região, que vai ser dada pela diferença entre a função g ( x ) que está a direita e a função f ( x ) que está a esquerda, ou seja:

A = ∫ c d g y - f y   d y

Onde, nesse caso, g y = 2 y - y 2 e f y = y 2 - 4 y .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo o ponto onde as curvas se interseptam lá em cima, fazendo:

2 y - y 2 = y 2 - 4 y

2 y 2 = 6 y

y = 3

Então, os gráficos se tocam em y = 3 . Como a gente pode ver no gráfico, as curvas também se tocam na origem, ou seja, em y = 0 . Assim, nossos limites estão no intervalo [ 0 ,   3 ] .

Passo 3

Montando nossa integral de área:

A = ∫ c d g y - f y   d y

Com g y = 2 y - y 2 e f y = y 2 - 4 y , temos:

A = ∫ 0 3 2 y - y 2 - y 2 + 4 y   d y

A = ∫ 0 3 6 y - 2 y 2   d y

Usando a regrinha da potência para integrar ( ∫ x n = x n + 1 n + 1 ), vamos obter:

A = 6 y 1 + 1 1 + 1 - 2 y 2 + 1 2 + 1 0 3

A = 6 y 2 2 - 2 y 3 3 0 3

Aplicando os limites de integração:

A = 3 3 2 - 3 0 2 - 2 0 3 3 + 2 0 3 3

A = 27 - 54 3

A = 9

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 9

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