Para cada m ∈ 0,1 , seja A m a área delimitada pelas curvas y = m x e y = x 2 , com 0 ≤ x ≤ 1 .

a) Calcule A m .

b) Determine m ∈ 0,1 para que A m seja mínima.

Passo 1

Bom galera.. nessa questão temos que calcular a área delimitada por duas funções.

Nesse caso temos:

y = m x e y = x 2 entre 0 ≤ x ≤ 1 .

Para calcular a área delimitada entre funções, nós temos que fazer:

A = ∫ a b f x - g x

Onde f ( x ) tem que ser maior que g ( x ) no intervalo [ a , b ] .

O lance aqui é você entender que y = x 2 é uma função que é sempre menor que y = m x até x = m . Após isso, x 2 será maior que m x .

Vou colocar um desenho aqui que deixa isso claro.

Portanto, para calcular a área em verde, fazemos:

A 1 = ∫ 0 m m x - x 2 d x

E para calcular a área em azul, fazemos:

A 2 = ∫ m 1 x 2 - m x d x

E então somamos essas duas áreas.

Passo 2

Calculando a área 1, teremos:

A 1 = ∫ 0 m m x - x 2 d x

= m x 2 2 - x 3 3   m 0

Substituindo os limites, temos:

A 1 = m m 2 2 - m 3 3

= m 3 2 - m 3 3 = 3 m 3 - 2 m 3 6

A 1 = m 3 6

Passo 3

Já a área 2 será:

A 2 = ∫ m 1 x 2 - m x d x

= x 3 3 - m x 2 2   1 m

Substituindo os limites, temos:

A 2 = 1 3 - m 2 - m 3 3 - m 3 2

= 1 3 - m 2 - 2 m 3 - 3 m 3 6

= 1 3 - m 2 - - m 3 6

A 2 = 1 3 - m 2 + m 3 6

Dessa forma, a área total será:

A = A 1 + A 2

A = 1 3 - m 2 + 2 m 3 6

A = 1 3 - m 2 + m 3 3

Passo 4

Para determinar o m que nos dá a área mínima, só precisamos derivar a função área e igualar a zero.

d A d m = 0

d 1 3 - m 2 + m 3 3 d m = 0

- 1 2 + 3 m 2 3 = 0

m 2 = 1 2

m = ± 1 2 = ± 1 2

Que racionalizando, resulta em:

m = ± 2 2

Como m precisa estar entre 0 e 1 , teremos então:

m = 2 2

Resposta

a)

A = 1 3 - m 2 + m 3 3

b)

m = 2 2

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