3.5. Calcule a área entre as curvas y = 12 - x 2 e y = x 2 - 6 . Faça um esboço da situação.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nosso objetivo nesse problema é obter a área da região limitada pelas curvas y = 12 - x 2 e y = x 2 - 6 .

Tem alguma ideia do que fazer? 🤔

Para obter a área entre as duas curvas, podemos usar uma integral dupla do tipo

∫ x 0 x 1 ∫ y 0 y 1 1 d y d x

Então para definir os limites de integração, temos que esboçar as curvas e obter a região.

Bora lá! 👀

Passo 2

As curvas y = 12 - x 2 e y = x 2 - 6 são paraboloides dadas por

Perceba que a região é limitada superiormente pela curva verde y = 12 - x 2 e inferiormente pela curva azul y = x 2 - 6 .

Assim, temos que y 1 = 12 - x 2 e y 0 = x 2 - 6 .

Para obter a variação de x , vamos igualar as duas equações

12 - x 2 = x 2 - 6

2 x 2 = 18

x 2 = 9 → x = ± 3

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Montando nossa integral com os limites de integração que encontramos, temos

∫ x 0 x 1 ∫ y 0 y 1 1 d y d x → ∫ - 3 3 ∫ x 2 - 6 12 - x 2 1 d y d x

Integrando com relação a y

∫ 1 d y = y

∫ x 2 - 6 12 - x 2 1 d y = 12 - x 2 - x 2 - 6

∫ x 2 - 6 12 - x 2 1 d y = 1 8 - 2 x 2

Integrando o resultado em função de x ...

∫ 18 - 2 x 2 d x = 18 x - 2 x 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ - 3 3 18 - 2 x 2 d x = 18 3 - 2 3 3 3 - 18 - 3 - 2 - 3 3 3

∫ - 3 3 18 - 2 x 2 d x = 72

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

72

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval