Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares.

  1. ρ = 2 - cos ⁡ θ e ρ = 1 + cos ⁡ θ

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá duas equações dadas em coordenadas polares:

ρ = 2 - cos ⁡ θ

ρ = 1 + cos ⁡ θ

Sabendo disso, a questão nos pede para calcularmos a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas.

Para isso, primeiramente devemos descobrir onde elas se intersectam. Nesse sentido, teremos os nossos intervalos de integração.

Depois, para descobrir a área, devemos lembrar da seguinte fórmula:

A = 1 2 ∫ ρ 2 d θ

Que nada mais é do que a área A para coordenadas polares.

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Então... igualando as duas equações para descobrir onde elas se intersectam, temos:

2 - cos ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ ∴

θ = arccos ⁡ 1 2

Pelo círculo trigonométrico, vemos que θ = 5 π 3 e θ = π 3 .

Plotando as duas curvas, temos:

Para fazer o cálculo da área de intersecção, precisamos calcular uma área relativa apenas a um e outra para ficar fácil de calcular, nesse caso.

Se chamarmos a área da esquerda de A 1 e a área da direita de A 2 , usaremos para A 2 o intervalo π 3 , 5 π 3 e para A 1 , o intervalo 5 π 3 , π 3 .

Dessa forma, vamos ter uma imagem assim:

Passo 3

Note que a imagem é simétrica em relação ao eixo x .

Dessa forma, podemos multiplicar somente uma das partes, usar a metade do intervalo e depois multiplicar por 2 , assim:

A 1 = 2 * 1 2 ∫ 0 π 3 2 - cos ⁡ θ 2 d θ = ∫ 0 π 3 4 - 4 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

E

A 2 = 2 * 1 2 ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ θ 2 d θ = ∫ π 3 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Agora vamos resolver nossas integrais!!

Passo 4

Para A 1 , temos:

∫ 0 π 3 4 - 4 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ 0 π 3 4 d θ - ∫ 0 π 3 4 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 3 cos 2 ⁡ θ d θ ∴

Sabendo que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

= ∫ 0 π 3 4 d θ - ∫ 0 π 3 4 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 3 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= ∫ 0 π 3 4 d θ - ∫ 0 π 3 4 cos ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ 0 π 3 d θ + 1 2 ∫ 0 π 3 cos ⁡ 2 θ d θ ∴

= 9 π 6 - 15 3 8

Para A 2 , temos:

∫ π 3 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ ∴

= ∫ π 3 π 1 d θ + ∫ π 3 π 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ π 3 π cos 2 ⁡ θ d θ ∴

Sabendo que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

= ∫ π 3 π 1 d θ + ∫ π 3 π 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ π 3 π 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= ∫ π 3 π 1 d θ + ∫ π 3 π 2 cos ⁡ θ d θ + 1 2 ∫ π 3 π d θ + 1 2 ∫ π 3 π cos ⁡ 2 θ d θ ∴

= π - 9 3 8

Dessa forma, somando as duas integrais, temos:

A t o t a l = A 1 + A 2 ∴

A t o t a l = 9 π 6 - 15 3 8 + π - 9 3 8 ∴

A t o t a l = 5 π 2 - 3 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A t o t a l = 5 π 2 - 3 3

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