Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares.

(c) ρ = cos ⁡ θ e ρ = sin ⁡ θ

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá duas equações dadas em coordenadas polares:

ρ = cos ⁡ θ

ρ = sin ⁡ θ

Sabendo disso, a questão nos pede para calcularmos a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas.

Para isso, primeiramente devemos descobrir onde elas se intersectam. Nesse sentido, teremos os nossos intervalos de integração.

Depois, para descobrir a área, devemos lembrar da seguinte fórmula:

A = 1 2 ∫ ρ 2 d θ

Que nada mais é do que a área A para coordenadas polares.

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Então... igualando as duas equações para descobrir onde elas se intersectam, temos:

cos ⁡ θ = sin ⁡ θ ∴

θ = arc tan ⁡ 1

Pelo círculo trigonométrico, vemos que θ = π 4 .

Plotando as duas curvas, temos:

Na imagem a gente pode ver também que a intersecção ocorre em θ = π 2 para cos ⁡ θ e θ = 0 , para sin ⁡ θ .

Dessa forma, para cos ⁡ θ vamos considerar o intervalo π 4 , π 2 e, para sin ⁡ θ , 0 , π 4 .

Passo 3

Dessa forma, para encontrar as duas áreas que estamos fazendo de forma separada, temos:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ θ d θ

E

A 2 = 1 2 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ 2 d θ = 1 2 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ d θ

Agora vamos resolver nossas integrais!!

Passo 4

Para A 1 , temos:

1 2 ∫ 0 π 4 sin ⁡ θ d θ =

A integral do seno é o negativo do cosseno, portanto:

= 1 2 - cos ⁡ θ π / 4 0 ∴

= 1 2 - 2 4

Agora, para A 2 , temos:

1 2 ∫ π 4 π 2 cos ⁡ θ d θ ∴

A integral do cosseno é o seno, portanto:

= 1 2 sin ⁡ θ π / 2 π / 4 ∴

= 1 2 - 2 4

Dessa forma, somando as duas integrais, temos:

A t o t a l = A 1 + A 2 ∴

A t o t a l = 1 2 - 2 4 + 1 2 - 2 4 ∴

A t o t a l = 1 - 2 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A t o t a l = 1 - 2 2

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