Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares.

(e) ρ = 1 e ρ = 2 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá duas equações dadas em coordenadas polares:

ρ = 1

ρ = 2 1 - cos ⁡ θ

Sabendo disso, a questão nos pede para calcularmos a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas.

Para isso, primeiramente devemos descobrir onde elas se intersectam. Nesse sentido, teremos os nossos intervalos de integração.

Depois, para descobrir a área, devemos lembrar da seguinte fórmula:

A = 1 2 ∫ ρ 2 d θ

Que nada mais é do que a área A para coordenadas polares.

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Então... igualando as duas equações para descobrir onde elas se intersectam, temos:

1 = 2 1 - cos ⁡ θ ∴

θ = arccos ⁡ 1 2

Pelo círculo trigonométrico, vemos que θ = π 3 e θ = 5 π 3 .

Plotando as duas curvas, temos:

Para fazer o cálculo da área de intersecção, vamos pegar uma área que vem de uma delas num dado intervalo somado coma a área de outra função no resto do intervalo.

Analisando o gráfico, vemos que é mais fácil calcular a área da função ρ = 1 no intervalo π 3 , 5 π 3 .

Por outro lado, é mais fácil calcular a área de ρ = 2 1 - cos ⁡ θ no intervalo 5 π 3 , π 3 .

Passo 3

Note que a imagem é simétrica em relação ao eixo x .

Dessa forma, podemos multiplicar somente uma das partes, usar a metade do intervalo e depois multiplicar por 2 , assim:

A 1 = 2 * 1 2 ∫ 5 π 3 π 3 4 1 - cos ⁡ θ 2 d θ = 4 ∫ 5 π 3 π 3 1 - cos ⁡ θ 2 d θ

E

A 2 = 2 * 1 2 ∫ π 3 5 π 3 1 2 d θ = ∫ π 3 5 π 3 1 d θ

Agora vamos resolver nossas integrais!!

Passo 4

Para A 1 , temos:

4 ∫ 5 π 3 π 3 1 - cos ⁡ θ 2 d θ =

= 4 ∫ 5 π 3 π 3 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ ∴

= 4 ∫ 5 π 3 π 3 1 d θ - ∫ 5 π 3 π 3 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 5 π 3 π 3 cos 2 ⁡ θ d θ ∴

Sabendo que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

= 4 ∫ 5 π 3 π 3 1 d θ - ∫ 5 π 3 π 3 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 5 π 3 π 3 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= 4 ∫ 5 π 3 π 3 1 d θ - ∫ 5 π 3 π 3 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 5 π 3 π 3 1 2 d θ + ∫ 5 π 3 π 3 cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

Sabemos que ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x + c .

Assim, resolvendo as integrais, temos:

A 1 = - 8 π - 7 3

Agora, para A 2 , temos:

∫ π 3 5 π 3 1 d θ ∴

= θ 5 π / 3 π / 3 ∴

= 4 π 3

Dessa forma, somando as duas integrais, temos:

A t o t a l = A 1 + A 2 ∴

A t o t a l = - 8 π - 7 3 + 4 π 3

A t o t a l = - 20 π 3 + 7 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A t o t a l = - 20 π 3 + 7 3

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