Calcule a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares.

(d) ρ = sin ⁡ θ e ρ = 1 - cos ⁡ θ

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá duas equações dadas em coordenadas polares:

ρ = 1 - cos ⁡ θ

ρ = sin ⁡ θ

Sabendo disso, a questão nos pede para calcularmos a área da intersecção das regiões limitadas pelas curvas dadas.

Para isso, primeiramente devemos descobrir onde elas se intersectam. Nesse sentido, teremos os nossos intervalos de integração.

Depois, para descobrir a área, devemos lembrar da seguinte fórmula:

A = 1 2 ∫ ρ 2 d θ

Que nada mais é do que a área A para coordenadas polares.

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Então... igualando as duas equações para descobrir onde elas se intersectam, temos:

1 - cos ⁡ θ = sin ⁡ θ

θ = 0 ou θ = π 2 ou θ = π

Plotando as duas curvas, temos:

Pelo gráfico acima, podemos ver é melhor calcularmos a função ρ = 1 - cos ⁡ θ para o intervalo 0 , π 2 e ρ = sin ⁡ θ para o intervalo π 2 ,   π .

Passo 3

Dessa forma, para encontrar as duas áreas que estamos fazendo de forma separada, temos:

A 1 = 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ

E

A 2 = 1 2 ∫ π 2 π sin ⁡ θ 2 d θ

Agora vamos resolver nossas integrais!!

Passo 4

Para A 1 , temos:

1 2 ∫ 0 π 2 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ =

= 1 2 ∫ 0 π 2 1 d θ - ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ ∴

Sabendo que cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

= 1 2 ∫ 0 π 2 1 d θ - ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 2 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= 1 2 ∫ 0 π 2 1 d θ - ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 π 2 1 2 d θ + ∫ 0 π 2 cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= 3 π 8 - 1

Agora, para A 2 , temos:

1 2 ∫ π 2 π sin ⁡ θ 2 d θ ∴

Sabendo que sin 2 ⁡ θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2 , temos:

= 1 2 ∫ π 2 �� 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= 1 2 ∫ π 2 π 1 2 d θ - ∫ π 2 π cos ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

= π 8

Dessa forma, somando as duas integrais, temos:

A t o t a l = A 1 + A 2 ∴

A t o t a l = 3 π 8 - 1 + π 8 ∴

A t o t a l = π - 2 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A t o t a l = π - 2 2

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