Calcule a área da parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está abaixo do plano z = 1 (adaptado)

Passo 1

Oiie, tudo certinho com você?

A questão pede para que calculemos a área do paraboloide

z = x 2 + y 2

que está abaixo do plano z = 1 . Isso significa calcular a integral de superfície relacionada a este parabolóide, ou seja

A = ∬ | r u × r v | d A

em que r u e r v são vetores obtidos através da parametrização de nosso parabolóide! Então, o primeiro passo é esse! Parametrizar o parabolóide! Vamos lá!

Passo 2

A parametrização do paraboloide é bem simples, podemos usar que

r ( u , v ) = ( x ( u ) , y ( v ) , z ( u , v ) ) = ( u , v , u 2 + v 2 )

Se fizermos as derivadas parciais

r u = ∂ ∂ u [ r ( u , v ) ] = ∂ ∂ u [ ( u , v , u 2 + v 2 ) ]

Como a derivada é em relação a u , temos que todos os v são tomados como constante, obtendo

r u = ∂ ∂ u [ ( u , v , u 2 + v 2 ) ] = ( 1,0 , 2 u )

Da mesma forma, a derivada parcial em relação a v é

r v = ∂ ∂ v [ ( u , v , u 2 + v 2 ) ] = ( 0,1 , 2 v )

Precisamos calcular o produto vetorial destes vetores para a nossa integral de superfície! Vamos fazer isso!

Passo 3

O produto vetorial é definido como

Calculando o determinante, temos que

r u × r v = ( 0 - 2 u ) x ^ + ( 0 - 2 v ) y ^ + ( 1 - 0 ) z ^ = ( - 2 u , - 2 v , 1 )

De forma que o módulo do produto vetorial pode ser obtido como

| r u × r v | = ( - 2 u ) 2 + ( - 2 v ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 + 4 u 2 + 4 v 2

A nossa integral de superfície pode ser escrita como

A = ∬ 1 + 4 ( u 2 + v 2 ) d u d v

em que coloquei o 4 em evidência e d A = d u d v . Ainda parece meio difícil de resolver certo? Aqui o segredo está em utilizar coordenadas polares para simplificar o nosso integrando! Vamos fazer isso!

Passo 4

As coordenadas polares podem ser estabelecidas como

( u , v ) = ( r   c o s ( ϕ ) ,   r   s e n ( ϕ ) )

Nesta mudança de coordenadas, temos que d u d v   =   r   d r   d ϕ devido ao jacobiano, e podemos escrever a nossa integral de superfície como

A = ∬ 1 + 4 ( r 2 c o s 2 ( ϕ ) + r 2   s e n 2 ( ϕ ) )   r d r d ϕ

evidenciando r 2 na raiz temos que r 2 ( c o s 2 ( ϕ ) + s e n 2 ( ϕ ) ) = r 2 , já que c o s 2 ( ϕ ) + s e n 2 ( ϕ ) = 1 . Portanto, a nossa integral se torna bastante simplificada, temos que

A = ∬ 1 + 4 r 2   r d r d ϕ

Mas quais são os limites de integração??? Para isso, vamos lembrar da informação de que o paraboloide está abaixo do plano z = 1 . Vem comigo!

Passo 5

A intersecção entre eles nos dá a seguinte expressão

1 =   x 2 + y 2

que é a equação de uma circunferência de raio 1 . Devido ao formato do paraboloide, esta circunferência nos indica que 0 < ϕ < 2 π e que 0 < r < 1 . Ou seja, a nossa integração tem a forma

A =   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2   r d r d ϕ

Como temos que r e ϕ são variáveis independentes e não há nenhuma dependência indicada no integrando, ou nos limites de integração, podemos resolver as integrais separadamente, temos que

∫ 0 2 π d ϕ = 2 π

e, a integral na coordenada radial é tal que

∫ 0 1 1 + 4 r 2 r d r

Lembra como resolvê-la? Utilizamos substituição simples! Saca só!

Passo 6

Note que ao derivarmos a função dentro da raiz, podemos obter o r que está fora, ou seja, se fizermos

u = 1 + 4 r 2 e d u = 8   r d r

Temos que a nossa integral se torna

∫ 0 1 1 + 4 r 2 r d r = 1 8 ∫ u ( 0 ) u ( 1 ) u d u

Os limites podem ser obtidos como u ( 1 ) = 1 + 4 ( 1 ) 2 = 5 e u ( 0 ) = 1 + 4 ( 0 ) 2 = 1 , e identificando a primitiva temos que

∫ 1 5 u d u = ∫ 1 5 u 1 / 2 d u = 1 1 / 2 + 1 [ u 1 / 2 + 1 ] 1 5

Realizando a soma e avaliando os limites, temos que

1 1 / 2 + 1 [ u 1 / 2 + 1 ] 1 5 = 1 3 / 2 [ u 3 / 2 ] 1 5 = 2 3 [ 5 3 / 2 - 1 3 / 2 ]

Maravilha! Agora é só juntarmos ambos os resultados para obter que

A =   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2   r d r d ϕ = 2 π 1 8 2 3 5 3 2 - 1  

ou, simplesmente

A = π 6 5 3 2 - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A = π 6 5 3 2 - 1

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