Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de f x = x 3 - 2 x + 1 e g x = - x + 1 , com - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essas duas funções

f x = x 3 - 2 x + 1

x = - x + 1

c o m :   - 1 ≤ x ≤ 1

E pediu para calcular a área!

Mas como resolver isso?

Precisamos fazer um esboço da região que pretendemos achar! Saca só como fica nossa região:

A região hachurada é nossa região A! Podemos verificar que a reta laranja está sempre por baixo entre x = - 1 e x = 0 e por cima entre x = 0 e x = 1

Beleza?

Nossa missão é montar a integral, acertar os limites de integração e partiu integrar!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar montando nossa integral:

A = ∫ - 1 0 x 3 - 2 x + 1 - ( - x + 1 ) d x + ∫ 0 1 [ - x + 1 - ( x 3 - 2 x + 1 ) ] d x  

Beleza?

Agora vamos organizar o integrando!

A = ∫ - 1 0 x 3 - x d x + ∫ 0 1 [ - x 3 + x ] d x

Agora é só integrar!

Passo 3

Integrando temos

A = ∫ - 1 0 x 3 - x d x + ∫ 0 1 [ - x 3 + x ] d x

= x 4 4 - x 2 2 - 1 0 + - x 4 4 + x 2 2 0 1

E por fim vamos aplicar nos limites!

- 1 4 + 1 2 + - 1 4 + 1 2 =

E simplificando temos

A = 1 - 1 2 = 1 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π
Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que fica abaixo da curva dada. A seguir, ache a área exata y = x - 4 , 1 ≤ x ≤ 6
Os economistas usam uma distribuição acumulada chamada curva de Lorenz para descrever a distribuição de renda entre as famílias em um dado país. Tipicamente, uma curva de Lorenz é definida no interval