Calcule a área da região do plano compreendida entre as seguintes curvas:

x = 12 y 2 - 12 y 3         e           x = 2 y 2 - 2 y ,       c o m   0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da região entre as curvas x = 12 y 2 - 12 y 3 e x = 2 y 2 - 2 y , com y variando de 0 a 1 .

Reparou que a gente tem uma função de y ? Dessa forma, x é definida por funções e y é definida em um intervalo (números). Quê que isso nos lembra? Região do Tipo II, certo? Porque uma região do tipo I I é exatamente isso, x é limitada por curvas e y é limitada por constantes. Ou seja:

D = x ,   y |   c ≤ y ≤ d ,   h 1 y ≤ x ≤ h 2 ( y )

No nosso caso, as constantes c e d seriam 0 e 1 . E as curvas h ( y ) seriam x = 12 y 2 - 12 y 3 e x = 2 y 2 - 2 y . No gráfico isso fica assim:

A curva em azul é x = 2 y 2 - 2 y e em verde temos x = 12 y 2 - 12 y 3 , elas limitam nossa região horizontalmente. Em vermelho e laranja, temos y = 0 e y = 1 , respectivamente, que limitam nossa região verticalmente. Escrevendo essa região na forma integral, vamos ter a área:

A = ∫ 0 1 ∫ 2 y 2 - 2 y 12 y 2 - 12 y 3 d x d y

Então, vamos calcular essa integral para encontrar a área A .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos calcular nossa integral:

A = ∫ 0 1 ∫ 2 y 2 - 2 y 12 y 2 - 12 y 3 d x d y

Integrando primeiro em relação a x , temos:

A = ∫ 0 1 x 2 y 2 - 2 y 12 y 2 - 12 y 3 d y

Agora vamos aplicar os intervalos de integração em x :

A = ∫ 0 1 12 y 2 - 12 y 3 - 2 y 2 - 2 y d y

A = ∫ 0 1 10 y 2 - 12 y 3 + 2 y   d y

Agora vamos integrar em relação a y , usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ):

A = 10 y 2 + 1 2 + 1 - 12 y 3 + 1 3 + 1 + 2 y 1 + 1 1 + 1 0 1

A = 10 3 y 3 - 12 4 y 4 + 2 2 y 2 0 1

Simplificando as frações:

A = 10 3 y 3 - 3 y 4 + y 2 0 1

Agora aplicando os limites de integração em y :

A = 10 3 1 3 - 3 1 4 + 1 2 - 10 3 0 3 - 3 0 4 + 0 2

A = 10 3 - 3 + 1 = 4 3

E encontramos nossa área.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 4 3

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