Calcule a área da região

A = x , y ∈ R 2 ; y ≤ x 2 ; y ≥ x 2 2 ; y ≤ 2 x

Passo 1

A primeira coisa a fazer é esboçar a região.

Vamos começar traçando a parábola y = x 2 , que é bem tranquila:

Acrescentando a parábola y = x 2 2 :

Pra finalizar, a reta y = 2 x :

Temos que y ≤ x 2 ,   y ≥ x 2 2   e   y ≤ 2 x , então a região A é:

Passo 2

Vejamos onde as curvas se interceptam pra poder montar nossas integrais.

  • As 3 curvas se encontram na origem.
  • A reta y = 2 x cruza com a parábola y = x 2 em x = 2 :

2.2 = 2 2 = 4

  • A reta y = 2 x cruza com a parábola y = x 2 2 em x = 4 :

2.4 = 4 2 2 = 8

Então, olhando a figura, temos que a área de A vai ser:

∫ 0 2 x 2 - x 2 2 d x + ∫ 2 4 2 x - x 2 2 d x

= 1 2 ∫ 0 2 x 2 d x + ∫ 2 4 2 x - x 2 2 d x

Passo 3

Firmeza, agora só nos resta calcular essas integrais:

1 2 ∫ 0 2 x 2 d x + ∫ 2 4 2 x - x 2 2 d x

= 1 2 ⋅ x 3 3   0 2 + x 2 - 1 2 ⋅ x 3 3 2 4

= 8 6 - 0 + 16 - 64 6 - 4 + 8 6 = - 48 6 + 12

= - 8 + 12 = 4

Resposta

4

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Use um gráfico para dar uma estimativa grosseira da área da região que
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