Calcule a área da região situada entre as curvas y = x 2 ,   y = x

Passo 1

Oi, tudo bem?

Vamos calcular essa área aqui

Quando integramos procuramos a função que está mais em cima e a que está mais embaixo. No nosso caso a função em azul está sempre em cima e a vermelha embaixo! Isso significa que não precisamos dividir em duas (ou mais) integrais!

Mas qual será nosso limite de integração? Temos que o ponto de encontro mais à esquerda é x = 0 , ok, temos o limite inferior! E o superior? Precisamos achar!

Então aqui atenção: vamos começar encontrando o limite superior de integração, onde as curvas se encontram, e depois é partiu integrar!

Bora começar?

Passo 2

Onde elas se encontram:

x 2 = x

Elevando tudo ao quadrado temos

x 4 = x → x 4 - x = 0

x x 3 - 1 = 0

Temos duas raízes: x = 0 e

x 3 - 1 = 0 → x = 1

Beleza? Assim nosso limite de integração é 0,1

Tudo bem até aqui? Agora é partiu integração!

Passo 3

Integrando temos

∫ 0 1 ( x - x 2 ) d x = 2 3 x 3 / 2 0 1 + - x 3 3 0 1

Agora é só aplicar os limites de integração

= 2 3 - 0 + - 1 3 + 0 = 2 3 - 1 3 = 1 3

Beleza? Espero ter ajudado!

Resposta

1 3

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