Calcule a área da região situada no 1º quadrante, limitada acima pela curva x 4   –   y 4   =   2 x y (coordenadas cartesianas) e abaixo por ρ 2   =   2 sin ⁡ 2 θ (coordenadas polares), com ρ   ≥   0 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcularmos a área no 1º quadrante limitada por duas curvas:

x 4   –   y 4   =   2 x y

E

ρ 2   =   2 sin ⁡ 2 θ

Para isso, devemos primeiramente passar a primeira equação para coordenadas polares.

Em seguida... devemos saber que a área de uma curva polar r em um intervalo θ ∈ a , b , é dada por:

A = ∫ a b r 2   d θ

Sabendo disso, devemos pegar curva da maior área e subtrair pela curva de menor área!!

E aí? Bora lá aplicar?

😉

Passo 2

Utilizando as relações entre coordenadas cartesianas e polares, podemos definir a curva x 4   –   y 4   =   2 x y para a seguinte curva em coordenadas polares:

ρ 2 = tan ⁡ 2 θ

Assim, desenhando a curva ρ 2   =   2 sin ⁡ 2 θ no plano polar, temos:

Agora, para descobrirmos o intervalo de integração, devemos igualar nossas duas equações:

2 sin ⁡ 2 θ = tan ⁡ 2 θ

De cara, vemos que 0 é uma solução válida. Agora vamos descobrir outro valor:

2 sin ⁡ 2 θ = sin ⁡ 2 θ cos ⁡ 2 θ ∴

cos ⁡ 2 θ = sin ⁡ 2 θ 2 sin ⁡ 2 θ ∴

cos ⁡ 2 θ = 1 2 ∴

2 θ = π 3 ∴

θ = π 6

Logo, temos o intervalo 0 , π 6 .

Passo 3

Nesse sentido, temos:

A = 1 2 ∫ 0 π 6 sin ⁡ 2 θ - tan ⁡ 2 θ 2 d θ

Resolvendo a integral, temos:

A = 1 2 ∫ 0 π 6 sin ⁡ 2 θ d θ - ∫ 0 π 6 tan ⁡ 2 θ 2 d θ ∴

A = 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 - - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ 2 θ π / 6 0 ∴

A = 1 4 1 - ln ⁡ 1 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = 1 4 1 - ln ⁡ 1 2

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