Calcule a área da superfície gerada pela rotação, em torno do eixo y , da curva x = e y + e - y 2 , com 0 ≤ y ≤ ln ⁡ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a área da superfície gerada pela curva x = e y + e - y 2 , quando ela gira em torno do eixo y .

Nesses casos de revolução em torno do eixo y , quando a gente tem uma função contínua e derivável em um intervalo (que no nosso caso é o intervalo [ 0 , ln ⁡ 2 ] ), a área da superfície gerada vai ser calculada pela fórmula:

S = ∫ c d 2 π x 1 + d x d y 2 d y

Onde x = e y + e - y 2 e d x d y é a derivada dessa função. Além disso, c ,   d é o intervalo, que nós já definimos. Então, vamos substituir esses dados na equação e calcular a integral para encontrar o valor da área.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada de x = e y + e - y 2 . Mas antes, pra facilitar nossas contas, vamos lembrar que e y + e - y 2 é a definição de cosh ⁡ ( y ) . Então, temos x = cosh ⁡ ( y ) . Derivando essa função, vamos obter:

d x d y = sinh ⁡ ( y )

Elevando ao quadrado e somando 1 , temos:

1 + d x d y 2 = 1 + sinh 2 ⁡ ( y )

Usando a identidade trigonométrica 1 + sinh 2 ⁡ ( y ) = cosh 2 ⁡ ( y ) , vamos ficar com:

1 + d x d y 2 = cosh 2 ⁡ ( y )

Colocando isso na raiz quadrada:

1 + d x d y 2 = cosh 2 ⁡ ( y ) = cosh ⁡ ( y )

Agora podemos substituir isso na integral.

Passo 3

Lembrando que x = cosh ⁡ ( y ) e 1 + d x d y 2 = cosh ⁡ ( y ) , montamos nossa integral:

S = ∫ c d 2 π x 1 + d x d y 2 d y

S = ∫ 0 ln ⁡ 2 2 π cosh ⁡ y ∙ ( cosh ⁡ ( y ) ) d y

Fazendo esse produto e colocando a constante pra fora da integral:

S = 2 π ∫ 0 ln ⁡ 2 cosh 2 ⁡ ( y ) d y

Calculando a integral, temos:

S = 2 π y 2 + 1 2 sinh ⁡ 2 y 0 ln ⁡ 2

S = π y + sinh ⁡ 2 y 0 ln ⁡ 2

Aplicando os intervalos de integração, temos nossa área:

S = π ln ⁡ 2 + 15 16

Ou

S ≈ 5,12   u . a .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

S = π ln ⁡ 2 + 15 16

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