Calcule o comprimento do astróide definido pelas seguintes equações paramétricas:

x t = cos 3 ⁡ ( t )       e       y t = sin 3 ⁡ ( t ) ,         c o m   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o comprimento do astroide definido por x t = cos 3 ⁡ ( t ) e y t = sin 3 ⁡ ( t ) . Mas o que é um astroide? Isso não interfere muito na nossa resolução, mas um astroide é o gráfico de uma curva que se assemelha com uma estrela. Esse é o gráfico do nosso astroide:

Nós vamos precisar lembrar que o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Onde d x d t e d y d t representam as derivadas de x t = cos 3 ⁡ ( t ) e y t = sin 3 ⁡ ( t ) e [ a ,   b ] é nosso intervalo de integração. Como a nossa figura é simétrica, a gente pode dividir o nosso intervalo, que vai de 0 a 2 π , em 4 partes de 0 a π 2 (para evitar que nossa integral seja zerada, percorrendo o caminho circular).

Então, vamos derivar nossas componentes, x e y , elevá-las ao quadrado e colocar dentro da raiz para calcular a integral e obter o comprimento da curva.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando x t = cos 3 ⁡ ( t ) e y t = sin 3 ⁡ ( t ) , usando a Regra da Cadeia:

d x d t = - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ ( t )

d y d t = 3 sin 2 ⁡ ( t ) cos ⁡ ( t )

Elevando elas ao quadrado, temos:

d x d t 2 = 9 cos 4 ⁡ ( t ) sin 2 ⁡ ( t )

d y d t 2 = 9 sin 4 ⁡ ( t ) cos 2 ⁡ ( t )

Agora vamos somar os resultados:

d x d t 2 + d y d t 2 = 9 cos 4 ⁡ ( t ) sin 2 ⁡ ( t ) + 9 sin 4 ⁡ ( t ) cos 2 ⁡ ( t )

Colocando 9 cos 2 ⁡ ( t ) sin 2 ⁡ ( t ) em evidência:

9 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t

Usando a identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 , temos:

9 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t

Agora vamos colocar esse resultado na raiz e calcular a integral.

Passo 3

Substituindo 9 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t dentro da raiz em:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Temos:

L = ∫ a b 9 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t d t

Tirando a raiz quadrada:

L = ∫ a b 3 cos ⁡ ( t ) sin ⁡ ( t ) d t

Colocando a constante pra fora da integral:

L = 3 ∫ a b cos ⁡ ( t ) sin ⁡ ( t ) d t

Mas lembra que nós definimos nosso intervalo em 4 partes de 0 a π 2 ? Então temos:

L = 3 ∙ 4 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ( t ) sin ⁡ ( t ) d t

L = 12 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ( t ) sin ⁡ ( t ) d t

Passo 4

Pra resolver essa integral, a gente pode tentar uma substituição, fazendo u = sin ⁡ t , temos:

d u = cos ⁡ t   d t

Assim, nossa integral vai ficar:

12 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ ( t ) sin ⁡ ( t ) d t = 12 ∫ 0 π / 2 u   d u

Integrando em relação a u :

12 u 2 2 0 π / 2

Voltando pra nossa variável original, substituímos sin ⁡ t no lugar de u :

12 sin 2 ⁡ ( t ) 2 0 π / 2 = 6 sin 2 ⁡ t 0 π / 2

Aplicando os limites de integração:

6 sin 2 ⁡ π 2 - sin 2 ⁡ 0

Assim, temos nosso comprimento:

L = 6 ( 1 - 0 )

L = 6

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

L = 6

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