2 – Calcule, com detalhes, a área da região de uma “pétala” da rosácea de três “pétalas” dada pela equação r = 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema temos que calcular a área de uma pétala da imagem que foi dada e a única informação que foi dada é que a curva que gera esse gráfico é dada por r = 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 .

E aí, como podemos fazer isso? 😁

Como nossa curva está parametrizada em coordenadas polares, para encontrar essa área temos que calcular uma integral com r variando de 0 a 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 e como estamos interessados em apenas uma pétala, podemos aplicar o intervalo 0 a π / 2 em θ .

Entendeu? Bora começar! 😉

Passo 2

Montando nossa integral, sabendo que na integral de uma área, a função de integração é 1 , aplicando os limites de integração e adicionando nosso jacobiano r , temos

∫ 0 π 2 ∫ 0 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 r d r d θ

Integrando r pelo método de integração polinomial, chegamos em

∫ r d r = r 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 r d r = 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 2 2 - 0 2 2

∫ 0 5 cos ⁡ 3 θ - π 2 r d r = 25 2 cos 2 ⁡ 3 θ - π 2

Integrando o resultado em relação a θ

∫ 0 π 2 25 2 cos 2 ⁡ 3 θ - π 2 d θ

Como o s e n e o c o s são defasados de π / 2 entre eles, podemos dizer que cos ⁡ 3 θ - π 2 = s e n 3 θ , ou seja

∫ 0 π 2 25 2 sen 2 ⁡ 3 θ d θ

Aqui temos que usar uma identidade trigonométrica que diz

s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Ou seja

∫ 0 π 2 25 2 1 - cos ⁡ 6 θ 2 d θ

Tirando a constante da integral, temos

25 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 6 θ d θ

Tranquilo até aqui? 🤔

Passo 3

Como a integral da soma é igual a soma das integrais, então

25 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 6 θ d θ = 25 4 ∫ 0 π 2 1 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ 6 �� d θ

Na integral de 1 , sabemos que o resultado é simplesmente θ

∫ 1 d θ = θ

∫ 0 π 2 1 d θ = π 2

Já na integral de c o s 6 θ temos que aplicar o método da substituição

Fazendo 6 θ = u , temos que d θ = d u 6 , ou seja

∫ cos ⁡ 6 θ d θ = ∫ cos ⁡ u 6 d u

Adaptando também os limites de integração, temos

θ f = π 2 → u f = 3 π θ i = 0 → u i = 0

Resultando em

∫ 0 3 π cos ⁡ u 6 d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ u é igual a s e n u , assim, alpicando os limites de integração...

∫ 0 3 π cos ⁡ u 6 d u = s e n 3 π 6 - s e n 0 6

∫ 0 3 π cos ⁡ u 6 d u = 0

Substituindo esses resultados no nosso problema, temos que

A = 25 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 6 θ d θ = 25 4 ∫ 0 π 2 1 d θ - ∫ 0 π 2 cos ⁡ 6 θ d θ

A = 25 4 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 6 θ d θ = 25 4 π 2 - 0

A = 25 π 8

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A = 25 π 8

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