Calcule a integral

I = ∫ ∫ ∫ W d x d y d z

onde W é um sólido com fronteira dada por x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 , a > 0 , b > 0 e c > 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos uma integral tripla I limitada por uma região W que é descrita por um elipsoide dado por x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 em que a , b e c são maiores que 0 .

O objetivo dessa questão é calcular a integral I .

Compreendeu? Como podemos começar nosso probleminha?

Como dito anteriormente, a equação que descreve a região W é um elipsoide. Quando temos uma integral tripla onde a região de integração é um elipsoide temos que fazer uma mudança de variável pra facilitar o cálculo da integral.

Quando fazemos uma mudança de variável, precisamos aplicar tipo um fator de correção, no caso, um jacobiano.

O jacobiano é obtido pelo determinante

J = ∂ x ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x ∂ w ∂ y ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ∂ w ∂ z ∂ u ∂ z ∂ v ∂ z ∂ w

Bora começar nossos cálculos? 😁

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma análise da região W

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Seria muito bacana se a gente pudesse simplificar essa equação, não é? E é exatamente isso que vamos fazer!

E se a gente escrever esse elipsoide como uma esfera? Integrais triplas sob coordenadas esféricas a gente sabe fazer, não é? Então fazemos a transformação

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 → u 2 + v 2 + w 2 = 1

Com isso, tiramos que

x 2 a 2 = u 2 y 2 b 2 = v 2 z 2 c 2 = w 2 → x = a u y = b v z = c w

Temos nossa nova região de integração e a relação entre as coordenadas antigas e as novas coordenadas.

Assim podemos calcular o jacobiano substituindo x , y e z por cada uma de relações com u , v e w .

J = ∂ a u ∂ u ∂ a u ∂ v ∂ a u ∂ w ∂ b v ∂ u ∂ b v ∂ v ∂ b v ∂ w ∂ c w ∂ u ∂ c w ∂ v ∂ c w ∂ w

Por derivação polinomial

∂ a u ∂ u = a u 1 - 1 = a ∂ b v ∂ v = b v 1 - 1 = b ∂ c w ∂ w = c w 1 - 1 = c

já os demais termos da matriz é 0 já que a variável de derivação não está presente na função de derivada, ou seja, na pratica é como se derivássemos uma constante e como sabemos, a derivada de uma constante é 0 .

∂ a u ∂ v = ∂ a u ∂ w = ∂ b v ∂ u = ∂ b v ∂ w = ∂ c w ∂ u = ∂ c w ∂ v = 0

Com isso, nossa matriz jacobiana será

J = a 0 0 0 b 0 0 0 c

Logo

J = a b c

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Dessa forma podemos escrever nossa integral, como

∫ ∫ ∫ W a b c d u d v d w

Mas agora como nosso W é uma esfera, podemos seguir os cálculos convertendo nossa integral tripla em uma integral esférica.

Como u 2 + v 2 + w 2 = 1 , vemos que o raio da nossa esfera é 1 , já que as variáveis estão igualadas a 1 .

Lembra das relações ρ , θ e ϕ que fazemos quando convertemos as coordenadas de uma função por coordenadas esféricas?

Como nosso W é uma esfera completa, os intervalos de ρ , θ e ϕ que descrevem uma esfera completa é

0 ≤ ρ ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ ϕ ≤ π

Integrando a b c por integral esférica, lembrando que o jacobiano dessa transformação é ρ 2 s e n ϕ

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b c ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ

Como a b c são constantes, podem sair da integral

a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ

Interessante, não é? 😁

Passo 4

Para calcular a integral, podemos usar um método para dividir as tarefas onde calculamos a integral da sua variável separadamente e multiplicamos os resultados no fim.

Não entendeu nada, não é? Veja só, o que podemos fazer é

∫ ϕ 0 ϕ f ∫ θ 0 θ f ∫ ρ 0 ρ f f ρ f θ f ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ ϕ 0 ϕ f f ϕ d ϕ · ∫ θ 0 θ f f θ d θ · ∫ ρ 0 ρ f f ρ d ρ

Ou seja

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ = ∫ 0 π s e n ϕ d ϕ · ∫ 0 2 π 1 d θ · ∫ 0 1 ρ 2 d ρ

Melhorou, né?

Agora calculamos as integrais.

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a integral do s e n é igual a - c o s , logo

∫ s e n ϕ d ϕ = - c o s ϕ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π s e n ϕ d ϕ = - c o s π - - c o s 0 = 2

Sabemos também que a integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela constante de integração

∫ 1 d θ = θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 π 1 d θ = 2 π - 0 = 2 π

Por fim, por integração polinomial, a integral de ρ 2 será

∫ ρ 2 d ρ = ρ 2 + 1 2 + 1 = ρ 3 3

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 ρ 2 d ρ = 1 3 3 - 0 3 3 = 1 3

Interessante esse método, não é? Nos ajuda na organização da resolução.

Passo 5

Por fim, a gente multiplica os resultados e substitui na integral maior

a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ = a b c ∫ 0 π s e n ϕ d ϕ · ∫ 0 2 π 1 d θ · ∫ 0 1 ρ 2 d ρ

a b c ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ = a b c 2 · 2 π · 1 3

Ou seja, a integral que queríamos lá no início resulta em

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b c ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ = 4 π a b c 3

Ou seja, esse é o volume de um elipsoide!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 a b c ρ 2 s e n ϕ d ρ d θ d ϕ = 4 π a b c 3

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