Calcule ∫ 0 1 x + 1 - x 2 d x , interpretando-a como uma área

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou descomplicar para você! O problema deu essa região

∫ 0 1 x + 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 x   d x + ∫ 0 1 1 - x 2 d x

E pediu para desenharmos a região e calcular a área!

Mas como resolver isso?

Precisamos fazer um esboço da região que pretendemos achar! Temos uma reta que corta o quadrante 1 em duas partes, bem na metade no ângulo de 45 ° . E temos a parte de cima de uma circunferência

então saca só como fica nossa região:

As regiões hachuradas é nossa integral!

Beleza?

Nossa missão é calcular e de preferência sem integrar!

É isso! Bora lá?

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos começar analisando a figura com cuidado! Se tivéssemos apenas a circunferência teríamos um quarto de circunferência (em vermelho), mas tamos também a área do retângulo (em azul)

Beleza?

A área do círculo é

A = π r 2

E nosso raio é 1 !

Agora é só calcular!

Passo 3

Queremos apenas 1 / 4 do círculo

1 4 π r 2 = 1 4 π . 1 2 = π 4

Agora queremos a área do triângulo de lados 1

1.1 2 = 1 2

E a integral fica

∫ 0 1 x + 1 - x 2 d x = ∫ 0 1 x   d x + ∫ 0 1 1 - x 2 d x

π 4 + 1 2

Show! E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

π 4 + 1 2

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