Considera-se a área A entre a curva y = x e o eixo O x para 0 ≤ x ≤ 4 .

a) Determinar a medida de A e as coordenadas do centroide ( x c ,   y c ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o valor da área A que é medida verticalmente entre a curva y = x e o eixo O x e horizontalmente entre x = 0 e x = 4 . Além disso, nós vamos precisar determinar as coordenadas do centroide dessa área. Mas vamos por partes.

Para determinar a área A , vamos dar uma olhadinha no gráfico:

Repare que em azul nós temos a reta x = 0 , em vermelho a reta x = 4 e em verde a curva y = x . Nossa área é essa aí em amarelo, para calculá-la nós vamos precisar resolver a integral:

A = ∫ a b f x d x = ∫ 0 4 x d x

Já o centroide, ou centro de massa da área, tem suas coordenadas ( x c ,   y c ) dadas por:

x c = 1 A ∫ a b x f x d x ,     y c = 1 A ∫ a b 1 2 f x 2 d x

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a área A através da integral:

A = ∫ 0 4 x d x

Vamos colocar a raiz em forma de potência:

A = ∫ 0 4 x 1 / 2 d x

Assim, usando a regrinha da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), temos:

A = x 1 2 + 1 1 2 + 1 0 4 = x 3 2 3 2 0 4

Fazendo a divisão de frações:

A = 2 3 x 3 / 2 0 4

Aplicando os intervalos de integração:

A = 2 3 ( 4 3 2 + 0 3 2 )

A = 2 3 4 3 = 2 3 64 = 2 3 ( 8 )

E temos nossa área:

A = 16 3

Passo 3

Agora vamos calcular as coordenadas ( x c ,   y c ) do centroide, dadas por:

x c = 1 A ∫ a b x f x d x ,     y c = 1 A ∫ a b 1 2 f x 2 d x

Começando pela coordenada x c :

x c = 1 A ∫ a b x f x d x

Usando f x = x e a área que calculamos no passo anterior, A = 16 3 , temos:

x c = 1 16 3 ∫ 0 4 x x d x = 3 16 ∫ 0 4 x x 1 / 2 d x

Somando os expoentes de x e x 1 / 2 :

x c = 3 16 ∫ 0 4 x 3 / 2 d x

Usando a regrinha da potência para integrar:

x c = 3 16 x 3 2 + 1 3 2 + 1 0 4

x c = 3 16 2 x 5 / 2 5 0 4 = 6 80 x 5 / 2 0 4

Aplicando os intervalos de integração:

x c = 6 80 4 5 2 - 0 5 2 = 6 80 4 5

Assim, temos:

x c = 6 80 32 = 192 80 = 12 5

Passo 4

Calculando agora a coordenada y c , temos:

y c = 1 A ∫ a b 1 2 f x 2 d x

Substituindo f x = x e A = 16 3 :

y c = 1 16 3 = ∫ 0 4 1 2 x 2 d x

Elevando a raiz ao quadrado e colocando as constantes fora da integral, temos:

y c = 3 16 1 2 ∫ 0 4 x d x

y c = 3 32 ∫ 0 4 x d x

Integrando:

y c = 3 32 x 2 2 0 4

Aplicando os intervalos de integração:

y c = 3 32 4 2 2 - 0 2 2 = 3 32 ( 8 )

y c = 24 32 = 3 4

Então, nossas coordenadas do centroide são x c ,   y c = 12 5 , 3 4 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

A = 16 3

x c ,   y c = 12 5 , 3 4

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