Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Área Entre Curvas

Considere f : 0,2 → R definida por f x = x e x e a reta r tangente ao gráfico da f em x = 1 . Calcule a área da região destacada na figura abaixo:

Passo 1

Para essa área ser calculada a gente precisa dos limites de integração, da disposição das funções entre as quais calculamos a área e da equação de cada uma das funções.

Em primeiro lugar, os limites de integração estão bem claros no enunciado e no desenho, temos o x variando de 0 até 2 .

Além disso, sabemos que f x está sempre mais alta que a reta r para x ∈ 0,2 , essa é a disposição gráfica delas nesse intervalo.

Agora, não conhecemos a equação própria da reta r . Vamos desenvolvê-la e então poderemos calcular a seguinte área:

A = ∫ 0 2 f x - r x d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Modelando r por uma equação y = a x + b nós podemos achar a como sendo a derivada da função no ponto de tangência, x = 1 . Primeiro vamos derivar f em função de x :

f ' x = x ' e x + x e x ' = e x + x e x

= e x x + 1

a = f ' 1 = e 1 1 + 1 = 2 e

Para descobrir b podemos aplicar a reta modelada no ponto dado por 1 , f 1 , ao qual ela pertence:

1 , f 1 = 1 , 1 e 1

= 1 , e

y = a x + b → e = 2 e 1 + b

b = - e

Enfim, a reta será r x = 2 e x - e .

Passo 3

Agora é só fazer a integral para descobrir a área:

∫ 0 2 f x - r x d x = ∫ 0 2 x e x - 2 e x + e d x

A única integral mais chata é a do primeiro termo, que podemos fazer por Partes:

u = x → d u = d x

d v = e x d x → v = e x

∫ x . e x d x = x . e x - ∫ e x d x

= x - 1 e x

As outras primitivas saem pela integral normal de polinômios:

∫ 0 2 x e x - 2 e x + e d x = x - 1 e x - e x 2 + e x [ 2 0

= 2 - 1 e 2 - e 2 2 + e 2 - 0 - 1 e 0 - e 0 2 + e 0

= e 2 - 4 e + 2 e - - 1

= e 2 - 2 e + 1

Essa é a área que nos interessa!

Resposta

A = e 2 - 2 e + 1

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