Considere a área da região de intersecção às curvas r = 2 s e n θ e r 2 = s e n ( 2 θ ) . Esboce a região

Parte II) Calcule a área da região de intersecção

Passo 1

E aí pessoal, tudo bem? O problema nos deu essas duas curvas

r = 2 s e n θ

r 2 = s e n ( 2 θ )

Por simplicidade dividimos essa questão em duas partes. Na parte (i) fizemos o esboço da região. Agora na parte (ii) vamos calcular o valor da área!

#partiu calcular essa área então!

Na parte I nós fizemos o esboço dessa região, encontramos isso aqui

o ponto onde as curvas se encontram fora da origem é em θ = π / 4

então precisamos dividir a região a ser calculada em duas

  • Região I
  • 0 < θ < π 4

    2 s e n θ < r < s e n 2 θ

  • Região II
  • π 4 < θ < π

    s e n 2 θ < r < 2 s e n θ

    Pois elas alternam quem está mais “por fora”. Lembrando que o diferencial de área em coordenadas polares é

    d A = r   d r   d θ

    Vamos dividir essa região em duas

    ∬ I d A + ∬ I I d A

    E integrar!

    Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

    Passo 2

  • Começando pela Região   I

0 < θ < π 4

2 s e n θ < r < s e n 2 θ

A integral fica

∫ 0 π / 4 ∫ 2 s e n θ s e n 2 θ r   d r   d θ

Tranquilo até aqui?

Vamos começar resolvendo a integral em r

∫ 0 π / 4 r 2 2 2 s e n θ s e n 2 θ d θ = 1 2 ∫ 0 π / 4 s e n 2 θ - 2 s e n 2 θ d θ

Tranquilo? Lembrando que s e n 2 θ = 1 2 ( 1 - c o s θ ) , podemos calcular por fim a parte em θ

= 1 2 - cos ⁡ 2 θ 2 0 π / 4 - 1 2 ∫ 0 π / 4 ( 1 - cos ⁡ 2 θ )   d θ

Continuando temos

1 4 - cos ⁡ π 2 + cos ⁡ 0 - 1 2 θ - s e n 2 θ 2 0 π 4

E por fim, aplicando nos limites de integração e simplificando

1 4 - π 8 + 1 4 = 4 - π 8

E é isso! Vamos guardar esse resultado!

Passo 2

Agora a região I I :

π 4 < θ < π

s e n 2 θ < r < 2 s e n θ

A integral fica

∫ π / 4   π ∫ s e n 2 θ 2 s e n θ r   d r   d θ

As integrais são as mesmas, mudando apenas os limites de integração, então vamos reciclar alguns resultados. Começando em r

∫ π / 4 π 1 2 r 2 s e n 2 θ 2 s e n θ d θ = 1 2 ∫ π / 4 π 2 s e n 2 θ - s e n 2 θ   d θ

E agora em θ

= ∫ π / 4 π 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ + cos ⁡ 2 θ 2 π / 4 π

Integrando e aplicando nos limites

= θ 2 π / 4 π - s e n 2 θ 4 π 4 π = π 2 - π 8 + 1 4 = 3 π + 2 8

Passo 3

Por fim vamos reunir os resultados!

∬ I d A + ∬ I I d A = 4 - π 8 + 3 π + 2 8 = 2 π + 6 8

Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

2 π + 6 8

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