Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere as curvas x + y + 5 = 0 e x + y 2 + 2 y + 3 = 0 .

  1. Esboce as curvas acima em um mesmo plano cartesiano exibindo os pontos de intersecção com suas abscissas e ordenadas.
  2. Exiba uma ou mais integrais que determinem a área da região delimitada por estas curvas.
  3. Calcule a área desta região.

Passo 1

Vamos primeiro esboçar cada região. Isolando y : x + y = 5 ⟹ y = - 5 - x

Trançando a reta:

Para a outra curva, podemos considerar como uma função de y , onde:

x = - y 2 - 2 y - 3

Que é a parábola virada:

Da própria figura, vemos que as curvas se tocam em x = - 6 e x = - 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora determinar a área da região R , que está entre as duas curvas:

Como a parábola é difícil de isolar, vamos integrar em relação a y mesmo. Pelo gráfico, temos que o y m i n ocorre em y = - 2 e o y m a x em y = 1 . Esse será nosso intervalo de integração.

A curva superior é aquela que está mais a direita e será, portanto a parábola.

E a curva inferior é a reta, que em função de y será: x = - 5 - y

Assim sendo, a área será: A = ∫ - 2 1 f m a i o r - f m e n o r d x = ∫ - 2 1 - y 2 - 2 y - 3 + 5 + y d x

A = ∫ - 2 1 - y 2 - y + 2 d y

Passo 3

Calculando:

= - y 3 3 - y 2 2 + 2 y - 2 1 = - 1 3 - 1 2 + 2 - 8 3 - 2 - 4

- 9 3 - 1 2 + 2 + 2 + 4 = - 3 - 1 2 + 1 6 2

- 6 2 + 15 2 = 9 2 u . a .

Sendo u.a. unidade de área.

Resposta

A = ∫ - 2 1 - y 2 - y + 2 d y = 9 2 u . a .

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