Considere a função f : [ 0 ,   1 ]   → R definida por f ( x )   =   x 3 , divida o intervalo [ 0 ,   1 ] em n   partes iguais como o indicado na figura abaixo e resolva os itens a seguir.

a ) Defina, para cada i   =   1 ,   2 ,   .   .   .   ,   n , o ponto x i * =   i / n e calcule f ( x i * ) .

b ) Defina agora ∆ x i   =   1 / n e calcule

∑ i = 1 n f ( x i * )   ∆ x i   ( 1 )

Usando a seguinte formula:

∑ i = 1 n i 3 = n n + 1 2 2  

c ) Lembrando que a integral ∫ 0 1 f x d x   e o limite, quando n   →   + ∞ , do somatório em (1), encontre a área delimitada pelo gráfico da função e o eixo   O x .

Passo 1

Olá galerinha do Responde Ai, está tudo ok?

Aqui temos uma questão de introdução aos conceitos da terrível integral. E ae, prontinho?

Relaxa, precisa ficar tristinho não. Todos os conceitos que precisamos estão em questão, então precisamos colocar a mão na massa. E aí vamos lá?

Bem, vamos lá. É você que manda.

Passo 2

Primeiramente vamos responder a letra a )   e para isso vamos utilizar as seguintes informações da questão:

f : [ 0 ,   1 ]   → R definida por f ( x )   =   x 3 , divida o intervalo [ 0 ,   1 ] em n   partes iguais.

Logo a alternativa define que x i * = i n sendo assim temos que f x i * = x i * 3 = i n 3 = i 3 n 3

Passo 3

Agora para responder a alternativa b ) precisaremos da seguinte informação:

∆ x i   =   1 / n  

E também vamos utilizar o que calculamos na alternativa a ) , para calcular a seguinte expressão:

∑ i = 1 n f ( x i * )   ∆ x i = ∑ i = 1 n i 3 n 3 1 n =   ∑ i = 1 n i 3 n 4

Agora vamos precisar da seguinte informação:

∑ i = 1 n i 3 = n n + 1 2 2  

Analisando nossa equação temos que n não depende de i , logo:

1 n 4 ∑ i = 1 n i 3 = 1 n 4 n n + 1 2 2 = 1 n 4   n 2 n + 1 2 4 = n + 1 2 4 n 2  

Passo 4

Agora vamos responder a letra c ) e para isso vamos utilizar a seguinte informação que também foi notificada na questão:

a integral ∫ 0 1 f x d x   e o limite, quando n   →   + ∞ , do somatório em ( 1 )

Então temos que a Área é dada por ∫ 0 1 f x d x e temos que essa integral é dada pela resposta da letra b ) quando n vai para infinito, sendo assim:

∫ 0 1 f x d x = ∑ i = 1 n f ( x i * )   ∆ x i   = n + 1 2 4 n 2 =   n 2 + 2 n + 1 4 n 2   = 1 4 + 2 4 n + 1 4 n 2 = 1 4  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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