Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere as funções f x = x 2 e g x = 2 1 + x 2 . Calcule a área da região delimitada pelos gráficos de f e g .

Passo 1

Encontrar os limites de integração

A gente já ta careca de saber que a integral de uma função qualquer é igual à área abaixo da curva dessa função, não é mesmo? Mas pra calcular áreas, precisamos de limites de integração! E bem, não temos.

Mas não se desespere! Até porque a área que vamos calcular é uma região delimitada por duas funções. Em matematiquês, isso quer dizer que pelo menos duas vezes essas funções vão se interceptar, fechando a região com a área que queremos calcular. Pra saber em que pontos isso acontece, basta a gente fazer:

f x = g x

x 2 = 2 1 + x 2

x 4 + x 2 - 2 = 0

Se fizermos:

u = x 2

Ficamos com:

u 2 + u - 2 = 0

E por Bhaskara:

u = - 1 ± 1 2 - 4.1 . - 2 2

u = - 1 ± 9 2

u = { 1   - 2  

Mas como x 2 = - 2 não existe, então:

u = x 2 = 1

x = ± 1

E voilà! Achamos nossos limites de integração: x = 1 e x = - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Descobrir qual função está por cima e qual está por baixo

Como a integral é a área abaixo da curva até o eixo x , pra calcularmos a área da nossa região corretamente, temos que ficar de olho. Isso porque a área vai ser a integral da curva que está por cima menos a que está por baixo. Assim, a área final calculada vai ser

A = ∫ - 1 1 f 1 d x - ∫ - 1 1 f 2 d x

Pra saber qual a função que está por cima é mole: só precisamos ver qual tem o maior valor, dado um x qualquer. Escolhendo, por exemplo, x = 0 , vamos ter:

f 0 = 0

g 0 = 2

Se pegar qualquer outro valor de x dentro do intervalo dos limites de integração, vamos ter sempre que:

g x > f x

E, portanto:

f 1 = g x

f 2 = f x

E a área vai ficar:

A = ∫ - 1 1 g x d x - ∫ - 1 1 f x d x

A = ∫ - 1 1 2 1 + x 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x

Graficamente, temos:

Passo 3

Calcular a área e partir pro abraço

Show de bola, agora é só calcular a área:

A = ∫ - 1 1 2 1 + x 2 d x - ∫ - 1 1 x 2 d x

E como a integral:

∫ 1 x 2 + 1 d x =   a r c t a n x  

É uma daquelas integrais que vem pronta, podemos partir pro cálculo da área:

A = 2 a r c t a n x   | x = - 1 x = 1 - x 3 3 | x = - 1 x = 1

A = 2 a r c t a n 1   - 2 a r c t a n - 1   - 1 3 3 + - 1 3 3

A = 2 π 4 - 2 - π 4 - 2 3

A = π - 2 3

Resposta

A = π - 2 3

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