Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere as funções f x = x 1 3 e g x = x 2 . Esboce e calcule a área da região R limitada pelos gráficos de f e g no intervalo 0,1 .

Passo 1

Cara, para esboçar essa região R , a gente precisa esboçar as curvas f x e g x no mesmo plano, e identificar a região que está entre elas no intervalo 0,1 , beleza? E como a gente faz isso?

Nossas funções são:

f x = x 1 3

g x = x 2

Essa primeira função pode ser reescrita assim:

f x = x 3

Ela é uma raiz cúbica. As raízes tem um cara bem parecida. Saca só como é a cara da raiz quadrada:

A raiz cúbica vai ser parecida, mas só que mais coladinha ao eixo y e ela também vai ter a parte negativa. Então fica assim:

E g x = x 2 é uma parábola que passa pela origem virada para cima:

Colocando essas duas coisas no mesmo plano, e marcando a região entre elas no intervalo 0,1 , achamos essa região aqui:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E para achar a área entre curvas que são funções de x , a gente precisa montar a fórmulinha:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

A f m a i o r representa a função que limita a nossa região por cima, e f m e n o r a função que limita a nossa região por baixo.

Olhando ali no nosso desenho, vemos que quem limita nossa região por cima é a f x = x 1 3 e quem limita nossa região por baixo é a função g x = x 2 .

Aí a gente tem que para o nosso caso:

f m a i o r = x 1 3

f m e n o r = x 2

E na fórmula, [ a , b ] é o intervalo em que nossa região está. Do enunciado temos que nossa região está no intervalo 0,1 , então:

a = 0 ,   b = 1

E aí a nossa integral para calcular a área fica:

A = ∫ 0 1 x 1 3 - x 2 d x

Passo 3

Agora é calcular essa belezura.

A = ∫ 0 1 x 1 3 - x 2 d x

Uma propriedade diz que podemos fazer a integral de cada uma das funções e depois fazer a subtração:

A = ∫ 0 1 x 1 3 d x - ∫ 0 1 x 2 d x

Percebe que nessas duas integrais, a gente pode usar a regrinha:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para a primeira integral temos n = 1 / 3 e para a segunda temos n = 2 . Ficamos assim então:

A = x 1 3 + 1 1 3 + 1 0 1 - x 2 + 1 2 + 1 0 1

A = x 4 3 4 3 0 1 - x 3 3 0 1 = 3 4 x 4 3 0 1 - x 3 3 0 1 = 3 4 - 1 3 = 5 12

Resposta

A = 5 12

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