Considere a integral

I = ∫ 0 2 ∫ 1 2 a r c c o s x 2 π 4 1 2 + x d y d x

(1) Desenhe a região de integração. Justifique.

(2) Trocando a ordem de integração, calcule a integral I .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos uma integral I onde pelos limites de integração, podemos identificar a região de integração como a região limitada pelas curvas x = 0 , x = 2 , y = π / 4 e y = 1 2 a r c c o s x 2 .

A função de integração da nossa integral é dada por 1 2 + x .

No item 1) temos que desenhar a região de integração.

Já no item 2) temos que inverter a ordem de integração e obter o valor de I .

Mas como podemos fazer isso? 👀

Analisando os limites de integração de I , podemos definir as curvas que limitam a região de integração.

Já com a região de integração desenhada, vamos converter nossa integral do tipo 1, onde x varia entre um intervalo numérico e y entre duas funções, para uma integral do tipo 2, onde y varia de um intervalo numérico e x entre duas funções.

Tudo Pronto? Bebe uma água e bora começar! 😎

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Plotando as curvas x = 0 , x = 2 , y = π / 4 e y = 1 2 a r c c o s x 2 , vamos obter a seguinte região.

Com isso, já completamos o item 1)

Agora o desafio é escrever x variando entre duas funções.

Pra isso, analisando o limite máximo da região de integração vermelha, vemos que a reta azul ( x = 2 ) vai ser o limite superior da integral d x .

Agora vemos que o limite inferior é dado pela curva roxa ( y = 1 2 a r c c o s a r c c o s   x 2   ).

Como podemos fazer para escrever a mesma curva em função de y ?

Podemos escrever a r c c o s ⁡ ( x ) como x   , ou seja

y = 1 2 x 2  

Se multiplicarmos os dois lados por 2 , podemos isolar o x 2   em um lado da equação.

2 y = x 2  

Multiplicando os dois lados por c o s , vamos eliminar o c o s - 1

c o s c o s   2 y   = x 2

Isolando x em um lado da equação, temos

x = 2 c o s c o s   2 y  

Com isso, descobrimos que o intervalo de integração de x é

2 c o s c o s   2 y   ≤ x ≤ 2

Compreendeu? 🤩

Passo 5

Agora descrevemos o intervalo de integração em y como um intervalo numérico. Analisando a região, vemos que o valor máximo de y é quando a região está na reta laranja ( y = π / 4 ) e o menor valor é na intersecção entre as curvas roxa e azul.

Bora ver que ponto é esse

Igualando as duas equações, temos

x = 2 c o s c o s   2 y   = 2

c o s c o s   2 y   = 1

c o s c o s   0   = 1

Ou seja, quando y = 0 !

Dessa forma, o intervalo de integração para y será

0 ≤ y ≤ π 4

Com isso, nossa integral terá a seguinte cara

I = ∫ 0 π 4 ∫ 2 c o s c o s   2 y   2 1 2 + x d x d y

Podemos começar a calcular nossa integral

Calculando a integral de x , temos

∫ 1 2 + x d x

Substituindo 2 + x por u e aplicando o método da substituição. d u = d x

∫ 1 u d u

Desfracionando a função de integração e calculando pelo método da integração polinomial

∫ u - 1 2 d u = u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 = 2 u

Voltando u para 2 + x

∫ 1 2 + x d x = 2 2 + x

Tranquilo até aqui? 😉😉

Passo 6

Aplicando os limites de integração

∫ 2 c o s c o s   2 y   2 1 2 + x d x = 2 2 + 2 - 2 2 + 2 c o s c o s   2 y  

∫ 2 c o s c o s   2 y   2 1 2 + x d x = 2 - 2 2 + 2 c o s c o s   2 y  

Agora com base nesse resultado, integramos com relação a y

∫ 2 - 2 2 + 2 c o s c o s   2 y   d y

Como as propriedades das integrais nos permite, podemos fazer o seguinte

∫ 2 d y - ∫ 2 2 + 2 c o s c o s   2 y   d y

A integral de uma constante é a própria constante multiplicada pela variável de integração

∫ 2 d y = 2 y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 4 2 d y = 2 π 4 - 2 0

∫ 0 π 4 2 d y = π 2

Está acompanhando?

Passo 7

Já a outra integral parece muito complicada, não é?

Mas se lembrarmos das identidades trigonométricas do c o s , podemos lembrar que

1 + c o s c o s   2 y   2 = c o s 2 y → 2 + 2 c o s c o s   2 y   = 4 c o s 2 y

Com isso, simplificamos nossa integral para

∫ 2 4 c o s 2 y d y → ∫ 4 c o s c o s   y   d y

Como sabemos, a integral do c o s é o s e n , ou seja

∫ 4 c o s c o s   y   d y = 4 s e n y

Aplicando os limites de integração.

∫ 0 π 4 4 c o s c o s   y   d y = 4 s e n π 4 - 4 s e n 0

∫ 0 π 4 4 c o s c o s   y   d y = 2 2

Com isso, vemos que

I = ∫ 0 π 4 ∫ 2 c o s c o s   2 y   2 1 2 + x d x d y = π 2 - 2 2

I = π 2 - 2 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

I = π 2 - 2 2

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