Considere a região R compreendida entre os gráficos de y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 ,   y = log 4 ⁡ x e y =   - x , sabendo que os vértices da região considerada ocorrem em x =   - 1 ,   x = 1 2 e x = 16 .

d )   Encontre a área da região R .

Passo 1

Fala gente bonita, tudo na paz?

Nessa questão recebemos 3 funções que delimitam uma região R .

y =   - x 2 17 + 16 x 17 + 2 y = log 4 ⁡ x y =   - x

Além disso, o enunciado também nos informou os pontos em que ocorrem intersecções dessa curva na região R , ou seja, os vértices de R : x = - 1 ,   x = 1 2 ,   x = 16 .

Analisando os nossos pontos de intersecção já esboçamos a região R e encontramos:

Além disso, dividindo a região R em vários trechos pelos intervalos em x , também encontramos a seguinte expressão para a área de R :

A R =   ∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x + ∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x

O nosso objetivo nesse item é determinar a área de R . Ou seja, em suma, vamos ter que resolver essas integrais acima.

Bora lá?! Mãos à obra!!

Passo 2

Queremos calcular a expressão:

A R =   ∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x + ∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x

Para isso, vamos calcular cada uma das integrais separadamente.

Começando por:

∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x

Para calculá-la devemos lembrar da regra de integração de polinômios:

∫ a b x n d x = x n + 1 n + 1 a b

Usando essa ideia, temos:

∫ - 1 1 2 - x 2 17 + 33 x 17 + 2 d x = - x 3 51 + 33 x 2 34 + 2 x - 1 1 2

Logo, substituindo os limites de integração temos:

- 1 2 3 51 + 33 1 2 2 34 + 2 ⋅ 1 2 - - - 1 3 51 + 33 - 1 2 34 + 2 ⋅ - 1

= 9 4  

Perfeito!

Passo 3

Vamos agora para a segunda integral:

∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x

A maior parte do integrando é um polinômio, cujas primitivas vimos no passo anterior. Precisamos apenas saber qual a primitiva de

log 4 ⁡ x

Olhando a tabela das integrais, temos:

∫ log 4 ⁡ x d x = x ⋅ log a ⁡ x - ln ⁡ a + C

Perfeito! Vamos então voltar para a nossa integral definida:

∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x

= - x 3 51 + 16 x 2 34 + 2 x - x ⋅ log 4 ⁡ x - ln ⁡ 4 1 2 16

Substituindo os limites de integração:

= - 16 3 51 + 16 ⋅ 16 2 34 + 2 ⋅ 16 - 16 ⋅ log 4 ⁡ 16 - ln ⁡ 4

- - 1 2 3 51 + 16 1 2 2 34 + 2 ⋅ 1 2 - 1 2 ⋅ log 4 ⁡ 1 2 - ln ⁡ 4

Logo, fazendo essas continhas...

∫ 1 2 16 - x 2 17 + 16 x 17 - log 4 ⁡ x + 2 d x = 931 24 + 31 4 ln ⁡ 2

Excelente! Juntando os dois resultados temos que:

A R = 9 4 + 931 24 + 31 4 ln ⁡ 2

Ufaaa! Finalizamos essa questão!

Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😊

Resposta

A R = 9 4 + 931 24 + 31 4 ln ⁡ 2

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