Considere a região R delimitada pelas curvas y = x², y = 0 e x = 1. Faça um esboço da região R e encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R ao redor de x = 2.

Passo 1

Beleza meu consagrado? Espero que sim, aqui é o Yuri e vamos nessa para mais uma resolução.

Hoje vamos ter que encontrar o volume de um sólido de revolução, então bora.

Utilizando do nosso amigo GeoGebra, iremos gerar o esboço da região R. Ela está acima do nosso eixo x, abaixo de x 2 e limitada por x = 1 . Ela irá girar em relação ao eixo x = 2 , e isso é importante demais.

O volume de uma região rotacionando em torno de uma reta fora da origem, que é o nosso caso pois a nossa região está rotacionando fora da origem, o volume é dado pela fórmula

V = π ∫ a b { F y 2 - G y 2 } d y

No nosso caso, estaremos rotacionando nossa região ao redor da reta x = 2 .

Passo 2

Às vezes, o sólido de revolução é gerado em torno de um eixo externo que pode ser paralelo a "x" ou a "y". O método dos anéis circulares, pode ser aplicado, desde que se identifique o raio do giro.

Então temos que de x = 1 até x = 2 temos um raio interno de r 1 = 1 . Já o raio mais externo é dado por r 2 = 2 - y pois ele varia em conjunto com a função y .

Passo 3

Calculando agora o nosso volume

V = π ∫ 0 1 2 - y 2 - 1 d y

= π ∫ 0 1 [ 4 - 4 y + y - 1 ] d y

= π ∫ 0 1 3 - 4 y + y d y

= π 3 - 8 3 + 1 2

= π 5 6

Resposta

= π 5 6

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