Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere a região Ω destacada na figura abaixo que é delimitada pelas curvas y   =   x 16 -   x 2   e y = - 4 x - x 2 .

A área de Ω é dada por:

  1. ∫ - 4 0 ( x 3 - x 2 - 20 x ) d x
  2. ∫ - 16 0 ( x 3 - x 2 - 20 x ) d x
  3. ∫ - 4 0 ( x 3 - x 2 - 12 x ) d x
  4. ∫ - 16 0 ( x 3 - x 2 - 12 x ) d x

Passo 1

Pela figura, já para saber que o limite superior de integração dessa curva é x = 0 . Vamos fazer a interseção entre elas para achar o intervalo inferior de integração:

x 16 - x = - x 4 + x

Excluindo x = 0 da solução, podemos cortá-lo:

16 - x 2 = - 4 - x ⟹ - x 2 + x + 20 = 0

Resolvendo essa equação aí, encontramos:

x = 5 x = - 4

x = 5 é maior que zero, então vamos ficar com o x = - 4 . Esse será o limite inferior de integração.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Legal, agora precisamos saber que curva é maior no intervalo. Para tal, só pegar qualquer valor no intervalo e ver qual é maior. Pegando x = - 1 :

y = - 1 16 - 1 = - 15

y = - 4 ⋅ - 1 - 1 = 3

Como 3 > - 15 , a segunda curva será a curva superior e a primeira a inferior.

Passo 3

Sabendo de tudo, só montar a integral no formato: ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

O intervalo de integração será - 4,0 como já visto. O integrando será: f m a i o r - f m e n o r = - 4 x - x 2 - x 16 -   x 2 = - 4 x - x 2 - 16 x + x 3 =

x 3 - x 2 - 20 x

Ficando:

∫ - 4 0 x 3 - x 2 - 20 x d x  

Que é exatamente a letra a !

Resposta

∫ - 4 0 x 3 - x 2 - 20 x d x

Letra a.

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