Considere a região plana R = x , y ∈ R 2   x - 1 2 + y 2 ≥ 4 ,   0 ≤ y ≤ x - 1 2 + 2 ,   1 ≤ x ≤ 3 } .

a) Esboce abaixo a região R .

b) Escreva a área da região R através de uma soma de integrais na variável y . Atenção: Neste item não é necessário calcular as integrais.

Passo 1

a) Fala aí! Tá bem? Para esboçar essa região, vamos ter que interpretar cada uma dessas inequações.

Começando por

x - 1 2 + y 2 ≥ 4

Se ali fosse um sinal de igual, teríamos

x - 1 2 + y 2 = 4

E isso é a equação de uma circunferência de raio r = 2 e centro x 0 , y 0 = 1,0 . Para descobrir isso, é só comparar essa equação com a equação geral da circunferência:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Mas como temos um sinal de desigualdade, a gente está olhando para uma região. Ou a região dentro da circunferência ou fora. Para descobrir, a gente pode testar se o centro da circunferência, que é um ponto dentro dela, satisfaz essa inequação ou não:

C = x 0 , y 0 = 1,0

x - 1 2 + y 2 ≥ 4

1 - 1 2 + 0 2 ≥ 4 ∴ 0 ≥ 4

A gente sabe que zero não é maior que 4, então esse ponto que está dentro da circunferência não satisfaz a nossa inequação. Sendo assim, a nossa inequação descreve a região fora do círculo. Aí marcando essa região:

Passo 2

Vamos olhar agora

0 ≤ y ≤ x - 1 2 + 2

Essa parte

0 ≤ y

Diz que y precisa ser positivo. Ou seja, a gente está olhando para a parte acima do eixo x . Agora vamos analisar a outra parte:

y ≤ x - 1 2 + 2

Isso significa que y está limitado por cima por uma curva de expressão y = x - 1 2 + 2 . Como só um dos termos está ao quadrado, a gente vê que isso é uma parábola. E ela está virada para cima.

Para esboçar ela, a gente pode achar 3 pontos dela, sendo um deles o seu ponto mínimo. Para achar esse ponto, a gente pode derivar a equação da parábola e igualar a zero, isso vai nos dá seu único ponto crítico (o mínimo).

y = x - 1 2 + 2

y ' = 2 x - 1 = 0 ∴ x = 1

y 1 = 1 - 1 2 + 2 = 2

Então o ponto de mínimo é 1,2 . Aqui também poderia usar aquela fórmulinha de mínimo de uma parábola, Daria a mesma coisa, tá?

Se a gente substituir x = 0 e x = 2 , achamos os outros 2 pontos: 0,3 e 2,3 . Aí esboçando essa parábola, e a região limitada por cima por ela e por baixo pelo eixo x , encontramos:

Passo 3

Cara, agora a gente faz a interseção entre essas duas regiões. E como ele diz que:

1 ≤ x ≤ 3

A gente só marca a região da interseção que estiver também dentro desse intervalo. Fazendo isso, achamos R :

Passo 4

b) Agora a gente precisa descrever essa região como uma soma de integrais em y . A gente vai usar essa fórmulinha:

A = ∫ y 1 y 2 g d i r e i t a - g e s q u e r d a d y

O que ela quer dizer? A é a nossa região, y 1 , y 2 é o intervalo de y onde essa região está, g d i r e i t a é a função que limita a região pela direita, e g e s q u e r d a , a função que limita pela esquerda.

No eixo y , nossa região está entre a interseção de x = 3 e a parábola, que é y = 6 e x = 3 a circunferência, que é y = 0 . Ou seja, está no intervalo

0 ≤ y ≤ 6

Mas repara ali no nosso gráfico que no intervalo 0 ≤ y < 2 , nossa região está entre x = 3 e a circunferência. Já no intervalo de 2 ≤ y ≤ 6 , nossa região está entre outras funções: x = 3 e a parábola.

Por isso, a gente vai precisar separar isso em duas integrais! Uma para cada um desses intervalos:

A = ∫ 0 2 g d i r e i t a - g e s q u e r d a d y + ∫ 2 6 g d i r e i t a - g e s q u e r d a d y

Passo 5

Olhando para o intervalo

0 ≤ y < 2

A gente vê que a função que limita nossa região pela direita é a reta x = 3 . Aí a gente pode escrever

g d i r e i t a = 3

E a função que limita nossa região pela esquerda é a circunferência de equação x - 1 2 + y 2 = 4 . A gente precisa de uma expressão na forma x = g y , então vamos isolar x :

x - 1 2 + y 2 = 4 ∴ x = ± 4 - y 2 + 1

Como é a parte da circunferência onde x ≥ 0 (pelo gráfico), a gente quer a parte positiva dessa raiz. Dizemos então, que a função que limita nossa região pela esquerda é

g e s q u e r d a = 4 - y 2 + 1

Aí a nossa integral para esse intervalo fica:

A = ∫ 0 2 3 - 4 - y 2 - 1 d y

Passo 6

Olhando para o intervalo

2 ≤ y ≤ 6

A gente vê que a função que limita nossa região pela direita é também a reta x = 3 . Aí a gente pode escrever

g d i r e i t a = 3

E a função que limita nossa região pela esquerda é a parábola de equação y = x - 1 2 + 2 . A gente precisa de uma expressão na forma x = g y , então vamos isolar x :

y = x - 1 2 + 2 ∴ x = ± y - 2 + 1

Como é a parte da curva onde x ≥ 0 (pelo gráfico), a gente quer a parte positiva dessa raiz. Dizemos então, que a função que limita nossa região pela esquerda é

g e s q u e r d a = y - 2 + 1

Aí a nossa integral para esse intervalo fica:

A = ∫ 0 2 3 - y - 2 - 1 d y

Passo 7

Com isso, nossa região pode ser descrita pela soma:

A = ∫ 0 2 3 - 4 - y 2 - 1 d y + ∫ 2 6 3 - y - 2 - 1 d y

Ufa! Deu tudo certo!

Resposta

a)

b) A = ∫ 0 2 3 - 4 - y 2 - 1 d y + ∫ 2 6 3 - y - 2 - 1 d y

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