Considere a região plana R limitada pela curva x = 2 y , pelo eixo x e pelas retas x = 1 16 e x = 8 .

a ) Calcule a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de y .

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bom?

Então, nessa questão temos uma região R que é limitada pelas curvas:

x = 2 y x = 1 16 x = 8 y = 0   ( e i x o   x )

Precisamos calcular a área dessa região usando integrais em termos de y .

Bom, para fazer isso, precisamos primeiro esboçar a região R . Após fazer isso, podemos usar que a área de uma região limitada entre duas curvas, f ( y ) e g ( y ) , em um intervalo [ a . b ] em y é dada por:

A =   ∫ a b f y - g y d y

Massa? Então vamo nessa!

Passo 2

Pra esboçar essa figura, vamos começar analisando as retas:

x = 1 16 x = 8

São retas verticais passando por esses pontos. Além disso, também temos uma limitação inferior no eixo x . Assim, temos a seguinte região (por enquanto):

Vamos agora analisar a nossa curva:

x = 2 y

Aplicando o logaritmo na base 2 dos dois lados, temos:

log 2 ⁡ x = y

Essa é uma clássica curva logarítmica, que tende a - ∞ quando x → 0 , e tende a + ∞ , quando x → + ∞ . Assim, plotando nesse mesmo gráfico:

Sendo assim, temos dois trechos compondo a região R : um abaixo do eixo x e outro acima.

Vamos montar uma integral para cada uma dessas regiões. Para isso, precisamos calcular as intersecções da curva x = 2 y com as retas x = 1 16 e x = 8 .

x = 1 16 = 2 y

∴ 2 - 4 = 2 y

⇒ y =   - 4

Então, o vértice da região inferior é 1 16 , - 4 .

Já para o vértice da região superior, temos:

x = 8 = 2 y

∴ 2 3 = 2 y

⇒ y = 3

Excelente! Então, nossa região inferior está no intervalo:

[ - 4 ,   0 ]

E, a região superior:

[ 0,3 ]

Assim, como na região inferior nosso trecho está limitado entre a curva x = 2 y (à direita) e x = 1 / 16 (à esquerda), usando a expressão do passo anterior, temos que:

A i n f = ∫ - 4 0 2 y - 1 16 d y

Já para a área superior, o papel se inverte um pouco. Temos x = 8 , à direita, e x = 2 y à esquerda.

Assim:

A s u p = ∫ 0 3 8 - 2 y d y

Massa!

Juntando as duas expressões, temos:

A R = ∫ - 4 0 2 y - 1 16 d y + ∫ 0 3 8 - 2 y d y  

Muito bom!!

Passo 3

Vamos agora resolver essa integral!

Temos:

A R = ∫ - 4 0 2 y - 1 16 d y + ∫ 0 3 8 - 2 y d y

Lembrando que a primitiva da função a y , vale:

a y ln ⁡ a + C

Assim, temos:

A R = 2 y ln ⁡ 2 - 1 16 ⋅ y - 4 0 + 8 y - 2 y l n 2 0 3

Substituindo os limites de integração:

A y = 2 0 ln ⁡ 2 - 2 - 4 ln ⁡ 2 - 1 16 ⋅ - 4 + 8 ⋅ 3 - 2 3 ln ⁡ 2 - 8 ⋅ 0 - 2 0 ln ⁡ 2

= 1 ln ⁡ 2 - 1 16 ⋅ 1 ln ⁡ 2 - 1 4 + 24 - 8 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 2

Logo:

A y = 1 ln ⁡ 2 ⋅ 1 - 1 16 - 8 + 1 + 95 4

∴ A y = 95 4 - 95 16 ln ⁡ 2

Prontinho gente!

Até a próxima 😊

Resposta

A y = 95 4 - 95 16 ln ⁡ 2

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