Considere a região plana R limitada pela curva x = 2 y , pelo eixo x e pelas retas x = 1 16 e x = 8 .

b )   Use o item anterior para obter ∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x por meio das áreas ali calculadas.

Passo 1

Fala aí galera, tudo na paz?

Então, nessa questão temos uma região R que é limitada pelas curvas:

x = 2 y x = 1 16 x = 8 y = 0   ( e i x o   x )

Usando essas informações, esboçamos a região R :

Além disso, usando esse esboço também calculamos a área da região R , como sendo:

∫ - 4 0 2 y - 1 16 d y + ∫ 0 3 8 - 2 y d y = 95 4 - 95 16 ln ⁡ 2

onde:

A i n f = ∫ - 4 0 2 y - 1 16 d y

E:

A s u p = ∫ 0 3 8 - 2 y d y

Massa!

Nesse item precisamos usar esses resultados encontrados anteriormente para calcular:

∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x

O grande ponto aqui é conseguirmos identificar uma área associada à essa integral, beleza?

Então vamo nessa!

Passo 2

Bom, vamos tentar identificar qual região tem área que corresponde à seguinte integral:

∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x

Temos que a curva está entre o log 2 ⁡ x e o eixo x . Isso no intervalo de x = 1 / 16 até x = 8 .

Isso é exatamente a nossa região R , com uma única diferença!

Nessa integral estamos ignorando a “área negativa” no trecho de x = 1 16 até x = 1   (raiz da curva log 2 ⁡ x ). Ou seja, quando fazemos a integral:

∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x

Estamos fazendo:

- A i n f + A s u p

Vamos então calcular essa área usando os resultados do item anterior, e comentado no passo 1 :

∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x = - ∫ - 4 0 2 y - 1 16 d y + ∫ 0 3 8 - 2 y d y

Resolvendo as integrais:

=   - 2 y ln ⁡ 2 - 1 16 ⋅ y - 4 0 +   8 y - 2 y l n 2 0 3

=   - 1 ln ⁡ 2 - 1 16 ⋅ 1 ln ⁡ 2 - 1 4 + 24 - 8 ln ⁡ 2 + 1 ln ⁡ 2

= 1 ln ⁡ 2 - 1 + 1 16 - 8 + 1 + 24 + 1 4

=   - 127 ln ⁡ 2 + 97 4

Portanto:

∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x = - 127 16 ln ⁡ 2 + 97 4

É isso pessoal, terminamos 😊

Obrigado pela atenção!!

Resposta

∫ 1 16 8 log 2 ⁡ x d x = - 127 16 ln ⁡ 2 + 97 4

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