Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere a região plana R limitada pelas curvas y = a ln ⁡ b x , y = c ln ⁡ d x e y = 1 :

  1. Utilizando as informações fornecidas no esboço acima, determine o valor das constantes a , b , c , d .
  2. Escreva a área de R como uma integral ou uma soma de integrais na variável x
  3. Escreva a área de R como uma integral ou uma soma de integrais na variável y
  4. Calcule a área de R pelo método que preferir

Passo 1

Partiu começar então. A primeira coisa a se fazer é trocar essas letras todas a , b , c , d por alguns números. Vamos começar pela reta y = a ln ⁡ b x . Da propriedade dos logarítimos, veja que:

ln ⁡ 1 = 0

Sendo assim:

y = a ln ⁡ b x = 0

Bem, nessa curva, se olharmos pro esboço, vemos que y = 0 acontece quando x = - 1 . Sendo assim:

b x = 1

- b = 1

b = - 1

Um outro ponto que o esboço dá é o o ponto - e , 1 . Substituindo esses valores:

1 = a ln ⁡ - - e

1 = a ln ⁡ e

a = 1

Então fechamos a primeira curva, vamos pra próxima. Só repetir as mesmas ideias:

ln ⁡ 1 = 0

y = c ln ⁡ d x = 0

Como y = 0 ocorre pra segunda curva quando x = 1 2 , vamos ter:

d x = 1 → d 2 = 1 → d = 2

E o outro ponto, do esboço, e 2 , 1 , pode ser usado:

1 = c ln ⁡ 2 e 2

1 = c ln ⁡ e

c = 1

Fechamos então os valores das quatro letras:

a = 1 b = - 1 c = 1 d = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Do jeito que a função está desenhada, fica um pouco complicado escrever a área em função de x . Porque? Bem, se as áreas são escritas assim:

Então, no esboço do enunciado, que temos:

Não rola fazer a integral das duas curvas y , uma vez que a área delimitada não é a abaixo da curva e sim a acima. Mas olha só a sagacidade: e se espelhássemos a imagem acima em relação ao eixo x ? Aí estaríamos multiplicando todas as curvas y por - 1 e ficaríamos com:

Ok, agora já ficou um pouco melhor. Dá uma olhada que agora a área a se calcular é uma região abaixo da curva. Mas ainda não dá pra calcular a integral direto. Agora, se somarmos + 1 a todas as curvas, vamos ter:

Opa agora sim! A integral vai ficar então:

A = ∫ - e 0 1 - a ln ⁡ b x + ∫ 0 e 2 1 - c ln ⁡ d x

A = ∫ - e 0 1 - ln ⁡ - x d x + ∫ 0 e 2 1 - ln ⁡ 2 x   d x

Passo 3

Pra escrever a área toda em função de y , a primeira coisa a se fazer é inverter a equação odas curvas. Saca só:

y = a ln ⁡ b x

y a = ln ⁡ b x

b x = e y a

x = f y = 1 b e y a = - e y

O mesmo vale pra outra curva:

y = c ln ⁡ d x

y c = ln ⁡ d x

d x = e y c

x = f y = 1 d e y c = e y 2

Ta, mas e daí? Veja bem, como x é uma função de y , temos que ver como que y varia na região R para achar os limites de integração! E veja bem o esboço original:

Não é que a região R está delimitada entre os valores y = - ∞ e y = 1 ? Então taí, são exatamente esses os limites de integração. Como quando a gente inverte uma função é como se tivéssemos trocando os eixos x e y de lugar, girando o gráfico 90 º pra direita e espelhando em relação à horizontal, vamos ter o seguinte esboço:

Agora sim fica mais claro de ver a expressão da área, não é mesmo? Vamos ter então que:

A = ∫ - ∞ 1 1 d e y c   d y + - ∫ - ∞ 1 1 b e y d   d y

A = ∫ - ∞ 1 e y 2   d y - ∫ - ∞ 1 - e y   d y

A = ∫ - ∞ 1 e y 2 + e y   d y = 3 2 ∫ - ∞ 1 e y   d y

A = 3 2 lim k → - ∞ ⁡ ∫ k 1 e y   d y

Passo 4

Partiu então fechar a questão com chave de ouro calculando a área. Como integrais de ln ⁡ x são mais chatinhas de se fazer, e a gente pode escolher o método, vamos calcular através da fórmula achada na letra anterior:

A = 3 2 lim k → - ∞ ⁡ ∫ k 1 e y   d y

A integral de e y é ninguém menos que ele mesmo! Sendo assim:

A = 3 2 lim k → - ∞ ⁡ e y y = k y = 1

A = 3 2 lim k → - ∞ ⁡ e 1 - e k

Como k → - ∞ , podemos reescrever o limite da seguinte forma:

A = 3 2 lim k → + ∞ ⁡ e - 1 e k

E cortando o termo 1 e k , que tende à 0 , vamos ter:

A = 3 e 2

Resposta

  1. a = 1 b = - 1 c = 1 d = 2
  2. A = ∫ - e 0 1 - ln ⁡ - x d x + ∫ 0 e 2 1 - ln ⁡ 2 x   d x
  3. A = 3 2 lim k → - ∞ ⁡ ∫ k 1 e y   d y
  4. A = 3 e 2

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