Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

Considere a região plana

R = x , y ∈ I R 2 1 + ln ⁡ x ≤ y ≤ 2 + e x - 1   ;   0 ≤ x ≤ e   ; y ≥ 0

  1. Esboce a região R
  2. Escreva a área da região R como uma soma de duas integrais na variável x . Atenção Neste item não é necessário calcular as integrais.
  3. Escreva a área da região R como uma soma de três integrais na variável y . Atenção Neste item não é necessário calcular as integrais.
  4. Calcule a área da região R

Passo 1

Opa, vamos lá. Antes de mais nada, vamos precisar fazer um bom esboço. Afinal, ele que vai nos ajudar a calcular a área depois. Vamos ver primeiro isso aqui:

1 + ln ⁡ x ≤ y ≤ 2 + e x - 1

Pra função que delimita y por baixo, temos:

1 + ln ⁡ x

Pra esboçar essa curva é interessante a gente lembrar que pra funções logarítmas:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + ln ⁡ x = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ 1 + ln ⁡ x = - ∞

Mas como y ≥ 0 também ta valendo pra R , temos que considerar essa curva só a partir do eixo x . E quando ela toca? Vamos ver?

1 + ln ⁡ x = 0

ln ⁡ x = - 1

x = e - 1

Show de bola, agora pra curva que delimita por cima:

2 + e x - 1

É interessante lembrarmos que das propriedades das exponenciais:

lim x → + ∞ ⁡ 2 + e x - 1 = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ 2 + e x - 1 = 0

Mas como x ≥ 0 também, só vamos nos preocupar com a parte dessa curva que tá a direita do eixo y . Opa, vai ser interessante então eu também anotar em que ponto que a curva toca esse eixo:

y = 2 + e 0 - 1

y = 2 + e - 1

E pra fechar basta só a gente olhar para a condição x ≤ e . Para a curva de cima e de baixo, respectivamente, teremos o seguinte valor de y para esse valor de x :

y = 2 + e e - 1

y = 2

Seja então:

f x = 2 + e x - 1

g x = 1 + ln ⁡ x

Temos o suficiente pra esboçar! Bora lá então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamo olhar presse R zinho ae e tentar modelar uma fórmula pra área em função de x . Como a integral é a área abaixo de uma curva, se quiséssemos calcular a seguinte área:

Era só fazer a integral da curva de cima usando as delimitações de x como limite de integração! Ficaria:

∫ 0 e 2 + e x - 1   d x

Ok, mas isso não é exatamente R né? Calma gafanhoto, chegaremos lá. Agora imagina que eu quero calcular essa área:

Mesma ideia! Só que agora só precisamos nos preocupar com a curva de baixo. Nota no entanto que os limites de integração vão ser diferentes, então muito cuidado ai! Vamos ter:

∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x

E como a área da região R pode ser entendida como a primeira área calculada aqui menos a outra, temos:

A = ∫ 0 e 2 + e x - 1   d x -   ∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x

Passo 3

Beleeeza, agora vamos fazr a mesma coisa, só que em termos de y . Note que as duas curvas podem ser invertidas. Pra de baixo:

y 1 = 1 + ln ⁡ x

y - 1 = ln ⁡ x

x 1 = e y - 1

E pra de cima:

y 2 = 2 + e x - 1

y - 2 = e x - 1

ln ⁡ y - 2 = ln ⁡ e x - 1

ln ⁡ y - 2 = x - 1 ln ⁡ e

ln ⁡ y - 2 = x - 1

x 2 = 1 + ln ⁡ y - 2

Pra entender as curvas x 1 = x 1 y e x 2 = x 2 y , é só pensar que elas são exatamente como se pegássemos as curvas originais y 1 , y 2 e fizéssemos essas operações:

Nesse caso, teríamos (agora com eixo horizontal y e vertical x ):

Show de bola, só precisamos agora modelar as integrais da mesma forma que fizemos da outra vez. Pra começar, olha essa região aqui:

Esse aqui pra calcular é bem direto ao ponto, viu? Afinal, é a área abaixo do gráfico da curva x 1 . Logo:

∫ 0 2 x 1 y   d y = ∫ 0 2 e y - 1   d y

Show, próxima área. Dá uma olhada nessa aqui:

Essa aí é de boas! É a área de um retângulo ou então, em linguagem de cálculo, a integral abaixo do gráfico de uma função constante de valor e . Essa área é representada por:

∫ 2 2 + e e - 1 e   d y

Bem, se a gente somasse as duas primeiras áreas, teríamos a seguinte região:

Mas nã é bem isso que queremos né? Não exatamente. Afinal, o pedacinho abaixo...

...a gente não está contando! Então além de somar as duas anteriores, vamos ter que subtrair essa! Como essa é a área abaixo da curva x 2 , vamos ter:

∫ 2 + e - 1 2 + e e - 1 x 2 y   d y = ∫ 2 + e - 1 2 + e e - 1 1 + ln ⁡ y - 2   d y

E tai! Fechamos! A área no final das contas vai ser:

A = ∫ 0 2 e y - 1   d y + ∫ 2 2 + e e - 1 e   d y - ∫ 2 + e - 1 2 + e e - 1 1 + ln ⁡ y - 2   d y

Passo 4

Ufa, última parte! Agora é calcular a área. Como a gente já tem a fórmula montada e podemos escolher, bora então escolher a mais simples, que tem menos integrais! Seja:

A = ∫ 0 e 2 + e x - 1   d x -   ∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x

Para a primeira integral, como d d x e x - 1 = e x - 1

∫ 0 e 2 + e x - 1   d x = 2 x + e x - 1 x = 0 x = e = 2 e + e e - 1 - e - 1

∫ 0 e 2 + e x - 1   d x = 2 e + e e - 1 - e - 1

Para a segunda, temos que considerar uma integração por partes para o termo de ln ⁡ x . Seja d v = 1   d x → v = x e u = ln ⁡ x → d u = 1 x   d x , pela integração por partes:

∫ ln ⁡ x   d x = ∫ u   d v = u v -   ∫ v   d u

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x -   ∫ x   1 x   d x

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x -   ∫ 1   d x

∫ ln ⁡ x   d x = x ln ⁡ x -   x

Sendo assim, nossa outra integral será:

∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x = x + x ln ⁡ x -   x x = e - 1 x = e = x ln ⁡ x x = e - 1 x = e

∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x = e ln ⁡ e - e - 1 ln ⁡ e - 1 = e - - e - 1

∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x = e + e - 1

Somando finalmente os resultados, partimos pro abraço!

A = ∫ 0 e 2 + e x - 1   d x -   ∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x

A = 2 e + e e - 1 - e - 1 - e + e - 1

A = 2 e + e e - 1 - e - 1 - e - e - 1

A = e + e e - 1 - 2 e - 1

Resposta

  1. A = ∫ 0 e 2 + e x - 1   d x -   ∫ e - 1 e 1 + ln ⁡ x   d x
  2. A = ∫ 0 2 e y - 1   d y + ∫ 2 2 + e e - 1 e   d y - ∫ 2 + e - 1 2 + e e - 1 1 + ln ⁡ y - 2   d y
  3. A = e + e e - 1 - 2 e - 1

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